Рис. 5.89. Дано: BO = DO, ∠ ABC = 45°, ∠ BCD = 55°, ∠AOC = 100°. Найти: ∠D. Доказать: Δ АВO = Δ CDO.

Для решения задачи нам потребуется использовать свойства углов и треугольников. Начнем с поиска угла D.

1. Рассмотрим четырехугольник ABCO. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Поэтому:

$$∠BAO + ∠BCO + ∠ABC + ∠AOC = 360°$$

2. Выразим сумму углов ∠BAO + ∠BCO:

$$∠BAO + ∠BCO = 360° - ∠ABC - ∠AOC = 360° - 45° - 100° = 215°$$

3. Теперь рассмотрим четырехугольник CDOA. Аналогично:

$$∠DCO + ∠DAO + ∠CDO + ∠AOC = 360°$$

4. Заметим, что ∠BCD = 55°. ∠BCO = ∠BCD - ∠DCO, то есть ∠BCO = 55° - ∠DCO. Аналогично ∠BAO = ∠ABC - ∠DAO, то есть ∠BAO = 45° - ∠DAO.

5. Подставим выражения для ∠BAO и ∠BCO из пункта 4 в уравнение из пункта 2:

$$(45° - ∠DAO) + (55° - ∠DCO) = 215°$$

6. Упростим уравнение:

$$100° - ∠DAO - ∠DCO = 215°$$

$$∠DAO + ∠DCO = -115°$$

Это явно неверно, посмотрим на рисунок, можно предположить что ∠AOC это внешний угол для треугольника BOC, тогда ∠AOC = ∠OBC + ∠OCB, тогда 100 = 45 + ∠OCB, следовательно ∠OCB = 55°. Значит ∠OCB = ∠BCD, следовательно точка O лежит на прямой CD, а такого быть не может.

Рассмотрим треугольники ΔАВО и ΔCDO. ВО = DO (по условию), ∠AOB = ∠COD (как вертикальные углы). Для доказательства равенства треугольников нужно доказать равенство еще одного элемента (стороны или угла). Доказать, что Δ АВO = Δ CDO невозможно, недостаточно данных.