Розв'яжіть прямокутний трикутник за гіпотенузою і гострим кутом: a) c= 8, α = 30°; б) c= 10, α = 42°.

Розв'яжемо прямокутний трикутник для кожного випадку.

a) Дано: гіпотенуза c = 8, кут α = 30°.

У прямокутному трикутнику відомі гіпотенуза та гострий кут. Треба знайти катети a та b, а також другий гострий кут β.

1. Знайдемо кут β. Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, то

$$β = 90° - α = 90° - 30° = 60°$$

2. Знайдемо катет a (протилежний до кута α) за допомогою синуса:

$$\sin α = \frac{a}{c}$$

$$a = c \cdot \sin α = 8 \cdot \sin 30° = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$$

3. Знайдемо катет b (прилеглий до кута α) за допомогою косинуса:

$$\cos α = \frac{b}{c}$$

$$b = c \cdot \cos α = 8 \cdot \cos 30° = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$

Відповідь: β = 60°, a = 4, b = 4√3

б) Дано: гіпотенуза c = 10, кут α = 42°.

У прямокутному трикутнику відомі гіпотенуза та гострий кут. Треба знайти катети a та b, а також другий гострий кут β.

1. Знайдемо кут β. Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°, то

$$β = 90° - α = 90° - 42° = 48°$$

2. Знайдемо катет a (протилежний до кута α) за допомогою синуса:

$$\sin α = \frac{a}{c}$$

$$a = c \cdot \sin α = 10 \cdot \sin 42° ≈ 10 \cdot 0.6691 ≈ 6.691$$

3. Знайдемо катет b (прилеглий до кута α) за допомогою косинуса:

$$\cos α = \frac{b}{c}$$

$$b = c \cdot \cos α = 10 \cdot \cos 42° ≈ 10 \cdot 0.7431 ≈ 7.431$$

Відповідь: β = 48°, a ≈ 6.691, b ≈ 7.431