С—6, 1. В прямоугольнике MPKH O — точка пересечения диагоналей, PA и HB — перпендикуляры, проведённые из вершин P и H к прямой MK. Известно, что MA = OB. Найдите угол POM.

Пусть стороны прямоугольника равны \(MK=w\) и \(MP=h\). Обозначим \(MK=L=\sqrt{w^2+h^2}\).

1. Проекция вектора \(MP\) на диагональ \(MK\) даёт \(MA=\dfrac{h^2}{L}\).
2. Точка \(O\) — середина диагонали \(MK\). Проекция \(H\) на прямую \(MK\) находится на расстоянии \(\dfrac{w^2}{L}\) от \(M\), поэтому \(OB=\dfrac{|w^2-h^2|}{2L}\).
3. Из условия \(MA=OB\): \(2h^2=|w^2-h^2|\). Вариант \(h^2-w^2=2h^2\) невозможен, поэтому \(w^2=3h^2\).
4. Векторы \(OP\) и \(OM\) имеют координаты \((-w/2,h/2)\) и \((-w/2,-h/2)\). Следовательно, \(\cos\angle POM=\dfrac{w^2-h^2}{w^2+h^2}=\dfrac12\).

Ответ: \(\angle POM=60^\circ\).