С1. Какую начальную скорость надо сообщить телу вверх вдоль наклонной плоскости, чтобы оно достигло ее вершины? Высота наклонной плоскости 6 м, ее длина 10 м, а коэффициент трения 0,4.

Дано:

$$h = 6 \text{ м}$$

$$l = 10 \text{ м}$$

$$\mu = 0.4$$

Найти: $$v_0$$

Решение:

1) Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси, связанные с наклонной плоскостью:

Ось X: $$-mg \sin \alpha - F_{тр} = ma$$

Ось Y: $$N - mg \cos \alpha = 0$$

где $$F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos \alpha$$. Угол $$ \alpha $$ можно найти из соотношения: $$\sin \alpha = \frac{h}{l} = \frac{6}{10} = 0.6$$

$$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - 0.6^2} = \sqrt{0.64} = 0.8$$

Тогда:

$$-mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha = ma$$

$$a = -g(\sin \alpha + \mu \cos \alpha) = -g(0.6 + 0.4 \tcdot 0.8) = -g(0.6 + 0.32) = -0.92g = -0.92 \tcdot 9.8 \approx -9.02 \text{ м/с}^2$$

2) Используем формулу для равноускоренного движения, чтобы найти начальную скорость:

$$v^2 - v_0^2 = 2al$$

В верхней точке скорость равна нулю: $$v = 0$$, следовательно:

$$0 - v_0^2 = 2al$$

$$v_0^2 = -2al$$

$$v_0 = \sqrt{-2al} = \sqrt{-2 \tcdot (-9.02) \tcdot 10} = \sqrt{180.4} \approx 13.4 \text{ м/с}$$

Ответ: 13.4 м/с