81 С помощью диаграмм Эйлера докажите равенство: a) A∩\overline{B} = AUB; б) AUB = A∩B. Указание. Для доказательства нужно изобразить оба события на диаграмме Эйлера. Если изображения совпадают, то совпадают и события

а) Равенство $$A \cap \overline{B} = A \cup B$$ неверно.

Доказательство:

Изобразим $$A \cap \overline{B}$$ на диаграмме Эйлера:

      A
   .------.
  /   X    \
 /          \
 |          |
  \          /
   \        /
    `------' B

Теперь изобразим $$A \cup B$$ на диаграмме Эйлера:

      A
   .------.
  /   X  X \
 /    X  X  \
 |    X  X X|
  \    X  X /
   \   X  X/
    `------' B

Видно, что области не совпадают.

б) Равенство $$A \cup B = A \cap B$$ неверно.

Доказательство:

Изобразим $$A \cup B$$ на диаграмме Эйлера (см. выше).

Теперь изобразим $$A \cap B$$ на диаграмме Эйлера:

      A
   .------.
  /        \
 /          \
 |    X     |
  \          /
   \        /
    `------' B

Видно, что области не совпадают.

Ответ: Невозможно доказать данные равенства, так как они неверны.