С1. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 16 см. Вычислите отношение площади данного треугольника к площади круга, вписанного в данный треугольник.

Здравствуйте, ребята! Давайте разберем эту задачу вместе. 1. Понимание задачи: Нам нужно найти отношение площади правильного треугольника к площади вписанного в него круга, зная радиус описанной окружности. 2. Анализ ситуации: * Правильный треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны, и все углы равны 60 градусов. * Центр описанной окружности совпадает с центром вписанной окружности и является точкой пересечения медиан (и высот, и биссектрис) треугольника. * Радиус описанной окружности (R) в два раза больше радиуса вписанной окружности (r): $R = 2r$. 3. Решение: * Раз радиус описанной окружности R = 16 см, то радиус вписанной окружности r = R/2 = 16/2 = 8 см. * Площадь круга вычисляется по формуле: $S_{круг} = \pi r^2$. В нашем случае: $S_{круг} = \pi * 8^2 = 64\pi$ кв. см. * Теперь найдем площадь треугольника. Выразим сторону треугольника (a) через радиус описанной окружности (R): $a = R\sqrt{3}$. Тогда $a = 16\sqrt{3}$ см. * Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле: $S_{треуг} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Подставим значение a: $S_{треуг} = \frac{(16\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16^2 * 3 * \sqrt{3}}{4} = \frac{256 * 3 * \sqrt{3}}{4} = 64 * 3 * \sqrt{3} = 192\sqrt{3}$ кв. см. * Теперь найдем отношение площади треугольника к площади круга: $\frac{S_{треуг}}{S_{круг}} = \frac{192\sqrt{3}}{64\pi} = \frac{3\sqrt{3}}{\pi}$. 4. Ответ: Отношение площади данного треугольника к площади вписанного в него круга равно $\frac{3\sqrt{3}}{\pi}$.