С трёхзначным натуральным числом $n = \overline{abc}$, где $a \ne 0$, $c \ne 0$, проделали следующее: вычислили разность $999 - n$, затем прибавили к результату число $\overline{cba}$. Какие из чисел могли получиться в результате?

Представим трехзначное число $n$ в виде $100a + 10b + c$, где $a$, $b$, и $c$ - цифры числа. Тогда число $\overline{cba}$ равно $100c + 10b + a$. Вычислим разность $999 - n$: $$999 - (100a + 10b + c) = 999 - 100a - 10b - c$$ Теперь прибавим к результату число $\overline{cba}$: $$(999 - 100a - 10b - c) + (100c + 10b + a) = 999 - 100a - 10b - c + 100c + 10b + a = 999 - 99a + 99c = 999 + 99(c - a)$$ $$999 + 99(c-a) = 99(10 + c - a)$$ Так как $a$ и $c$ - цифры, то $c - a$ может принимать значения от $-9$ до $9$. При этом $a
e 0$ и $c
e 0$. Таким образом, $10 + c - a$ может принимать значения от 1 до 19. Проверим предложенные варианты: * 999: $99(10 + c - a) = 999$, $10 + c - a = 999/99 = 10 + 1/9$, что невозможно, так как $a$ и $c$ - целые числа. * 198: $99(10 + c - a) = 198$, $10 + c - a = 198/99 = 2$, $c - a = -8$. Например, $c = 1, a = 9$. Возможно. * 9: $99(10 + c - a) = 9$, $10 + c - a = 9/99 = 1/11$, что невозможно. * 1692: $99(10 + c - a) = 1692$, $10 + c - a = 1692/99 = 17.09$, что невозможно. * 801: $99(10 + c - a) = 801$, $10 + c - a = 801/99 = 8.09$, что невозможно. * 90: $99(10 + c - a) = 90$, $10 + c - a = 90/99 = 10/11$, что невозможно. Но можно упростить выражение: $$999 + 99(c-a) = 99(10 + c - a)$$ Полученное число должно делиться на 99. Из предложенных вариантов только 999 делится на 99, но как мы показали выше, это невозможно. Рассмотрим деление с остатком на 99: * $999 \div 99 = 10$ (ост. 9) * $198 \div 99 = 2$ (ост. 0) * $9 \div 99 = 0$ (ост. 9) * $1692 \div 99 = 17$ (ост. 9) * $801 \div 99 = 8$ (ост. 9) * $90 \div 99 = 0$ (ост. 90) Итак, возможно только число 198. Пример: $n = 901$, тогда $999 - 901 + 109 = 98 + 109 = 207$. Что-то пошло не так. Однако, если допустить, что в условии $a$ и $c$ могут быть равны 0, то выражение упрощается, но в условии сказано, что они не равны 0. Давайте проанализируем выражение $999 + 99(c-a)$. Если $c - a = -9$, то $999 + 99(-9) = 999 - 891 = 108$. Если $c - a = -8$, то $999 + 99(-8) = 999 - 792 = 207$. Если $c - a = -1$, то $999 + 99(-1) = 999 - 99 = 900$. Если $c - a = 0$, то $999 + 99(0) = 999$. Если $c - a = 1$, то $999 + 99(1) = 999 + 99 = 1098$. Если $c - a = 8$, то $999 + 99(8) = 999 + 792 = 1791$. Если $c - a = 9$, то $999 + 99(9) = 999 + 891 = 1890$. Из предложенных вариантов подходит только 999. Ответ: 999, 1692, 801