С1. Четвертая часть одного из смежных углов и 4/7 другого составляют в сумме прямой угол. Найдите разность данных углов.

Решение:

Пусть смежные углы равны \( α \) и \( β \).

Мы знаем, что сумма смежных углов равна 180°: \( α + β = 180^\circ \).

По условию задачи, четвертая часть одного угла (например, \( α \)) и 4/7 другого угла (\( β \)) составляют прямой угол (180°):

\( \frac{1}{4}α + \frac{4}{7}β = 180^\circ \).

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( α + β = 180^\circ \)
2. \( \frac{1}{4}α + \frac{4}{7}β = 180^\circ \)

Из первого уравнения выразим \( α \): \( α = 180^\circ - β \).

Подставим это выражение во второе уравнение:

\( \frac{1}{4}(180^\circ - β) + \frac{4}{7}β = 180^\circ \)

\( 45^\circ - \frac{1}{4}β + \frac{4}{7}β = 180^\circ \)

Сгруппируем члены с \( β \):

\( (\frac{4}{7} - \frac{1}{4})β = 180^\circ - 45^\circ \)

Приведём дроби к общему знаменателю (28):

\( (\frac{16}{28} - \frac{7}{28})β = 135^\circ \)

\( \frac{9}{28}β = 135^\circ \)

\( β = 135^\circ \times \frac{28}{9} \)

\( β = 15^\circ \times 28 \)

\( β = 420^\circ \)

Получили \( β = 420^\circ \). Это больше 180°, что невозможно для смежного угла. Это означает, что мы неправильно предположили, какой угол берётся как \( \frac{1}{4} \) и какой как \( \frac{4}{7} \).

Давайте попробуем наоборот:

\( \frac{1}{4}β + \frac{4}{7}α = 180^\circ \).

Система уравнений:

1. \( α + β = 180^\circ \)
2. \( \frac{1}{4}β + \frac{4}{7}α = 180^\circ \)

Из первого уравнения выразим \( β \): \( β = 180^\circ - α \).

Подставим во второе уравнение:

\( \frac{1}{4}(180^\circ - α) + \frac{4}{7}α = 180^\circ \)

\( 45^\circ - \frac{1}{4}α + \frac{4}{7}α = 180^\circ \)

\( (\frac{4}{7} - \frac{1}{4})α = 180^\circ - 45^\circ \)

\( \frac{9}{28}α = 135^\circ \)

\( α = 135^\circ \times \frac{28}{9} \)

\( α = 15^\circ \times 28 \)

\( α = 420^\circ \)

Такое же некорректное значение. Проверим условие задачи. Возможно, имеется в виду, что сумма этих частей *равна* прямому углу, а не *составляет* прямой угол.

Перечитаем условие: