С1. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A(1; 6), B(4; 2), C(0; −1), D(−3; 3) является ромбом. Будет ли ромб ABCD квадратом?

Найдём длины сторон по формуле расстояния между точками:

\(AB=\sqrt{(4-1)^2+(2-6)^2}=\sqrt{9+16}=5\).

\(BC=\sqrt{(0-4)^2+(-1-2)^2}=\sqrt{16+9}=5\).

\(CD=\sqrt{(-3-0)^2+(3-(-1))^2}=\sqrt{9+16}=5\).

\(DA=\sqrt{(1-(-3))^2+(6-3)^2}=\sqrt{16+9}=5\). Все стороны равны, следовательно, ABCD — ромб.

Проверим, является ли один из углов прямым. \(\overrightarrow{AB}=(3;-4)\), \(\overrightarrow{BC}=(-4;-3)\). Их скалярное произведение \(3\cdot(-4)+(-4)\cdot(-3)=-12+12=0\), значит, стороны AB и BC перпендикулярны. Ромб с прямым углом является квадратом.

Схематический чертёж по заданным координатам:

Ответ: ABCD — ромб и одновременно квадрат.