С1. Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Решение:

Пусть $$v$$ — собственная скорость лодки (в км/ч), а $$c$$ — скорость течения реки, $$c=4$$ км/ч.

Скорость лодки по течению: $$v+c = v+4$$ км/ч.

Скорость лодки против течения: $$v-c = v-4$$ км/ч.

Время движения лодки по течению: $$t_{по} = \frac{77}{v+4}$$ часа.

Время движения лодки против течения: $$t_{против} = \frac{77}{v-4}$$ часа.

По условию, лодка затратила на обратный путь (по течению) на 2 часа меньше, чем на путь против течения:

$$ t_{по} = t_{против} - 2 $$

Подставим выражения для времени:

$$ \frac{77}{v+4} = \frac{77}{v-4} - 2 $$

Перенесём члены уравнения:

$$ 2 = \frac{77}{v-4} - \frac{77}{v+4} $$

Приведём дроби к общему знаменателю:

$$ 2 = \frac{77(v+4) - 77(v-4)}{(v-4)(v+4)} $$

$$ 2 = \frac{77v + 308 - 77v + 308}{v^2 - 16} $$

$$ 2 = \frac{616}{v^2 - 16} $$

Умножим обе части на $$v^2 - 16$$:

$$ 2(v^2 - 16) = 616 $$

$$ v^2 - 16 = \frac{616}{2} $$

$$ v^2 - 16 = 308 $$

$$ v^2 = 308 + 16 $$

$$ v^2 = 324 $$

$$ v = \sqrt{324} $$

$$ v = 18 $$

Так как скорость лодки должна быть положительной, $$v = 18$$ км/ч.

Проверим условие $$v-4 > 0$$, $$18-4 = 14 > 0$$, условие выполнено.

Ответ: 18 км/ч.