С1. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов в пять раз меньше суммы двух других.

В равнобедренном треугольнике есть два равных угла. Рассмотрим два случая:

Случай 1: Основание треугольника равно одному из равных углов.

Пусть углы равны \( a \), \( a \) и \( b \). Сумма углов \( 2a + b = 180° \).

Подслучай 1.1: Угол при основании ( \( a \) ) в пять раз меньше суммы двух других ( \( a+b \) ).

\( a = \frac{1}{5}(a + b) \)

\( 5a = a + b \)

\( 4a = b \)

Подставляем \( b \) в уравнение суммы углов:

\( 2a + 4a = 180° \)

\( 6a = 180° \)

\( a = 30° \).

Тогда \( b = 4a = 4 × 30° = 120° \).

Углы: 30°, 30°, 120°.

Проверка: 30° = (1/5)(30° + 120°) = (1/5)(150°) = 30°. Верно.

Подслучай 1.2: Угол при вершине ( \( b \) ) в пять раз меньше суммы двух других ( \( a+a \) ).

\( b = \frac{1}{5}(2a) \)

\( 5b = 2a \)

\( a = \frac{5}{2}b \)

Подставляем \( a \) в уравнение суммы углов:

\( 2(\frac{5}{2}b) + b = 180° \)

\( 5b + b = 180° \)

\( 6b = 180° \)

\( b = 30° \).

Тогда \( a = \frac{5}{2} × 30° = 75° \).

Углы: 75°, 75°, 30°.

Проверка: 30° = (1/5)(75° + 75°) = (1/5)(150°) = 30°. Верно.

Случай 2: Углы при основании равны.

Равнобедренный треугольник имеет углы \( a, a, b \). Сумма углов \( 2a + b = 180° \). Условие: один из углов в пять раз меньше суммы двух других. Это может быть либо \( a \), либо \( b \).

Вариант 1: Угол \( a \) в пять раз меньше суммы двух других (\( a+b \)).

\( a = \frac{1}{5}(a+b) \)

\( 5a = a+b \Rightarrow b = 4a \).

Подставляем в \( 2a+b=180° \): \( 2a+4a=180° → 6a=180° → a=30° \).

\( b = 4 × 30° = 120° \).

Углы: \( 30°, 30°, 120° \).

Вариант 2: Угол \( b \) в пять раз меньше суммы двух других (\( a+a \)).

\( b = \frac{1}{5}(2a) → 5b = 2a → a = \frac{5}{2}b \).

Подставляем в \( 2a+b=180° \): \( 2(\frac{5}{2}b)+b=180° → 5b+b=180° → 6b=180° → b=30° \).

\( a = \frac{5}{2} × 30° = 75° \).

Углы: \( 75°, 75°, 30° \).

Ответ: Углы треугольника могут быть 30°, 30°, 120° или 75°, 75°, 30°.