С1. В треугольник АВС со сторонами АВ = 5 см, ВС = 8 см, АС = 9 см вписана окружность, касающаяся стороны АС в точке К. Найдите расстояние от точки К до точки М биссектрисы ВМ.

Решение:

Пусть \( a=BC=8 \), \( b=AC=9 \), \( c=AB=5 \). Полупериметр \( p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{8+9+5}{2} = \frac{22}{2} = 11 \) см.

Окружность вписана в \( \triangle ABC \) и касается стороны \( AC \) в точке \( K \).

Расстояние от вершины \( C \) до точки касания \( K \) на стороне \( AC \) равно \( CK = p - c = 11 - 5 = 6 \) см.

Расстояние от вершины \( A \) до точки касания \( K \) на стороне \( AC \) равно \( AK = p - a = 11 - 8 = 3 \) см.

Проверим: \( AK + CK = 3 + 6 = 9 \) см, что равно длине стороны \( AC \).

Пусть \( BM \) — биссектриса угла \( B \). По теореме о биссектрисе:

\( \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} = \frac{c}{a} = \frac{5}{8} \)

Пусть \( AM = 5y \) и \( MC = 8y \). Тогда \( AC = AM + MC = 5y + 8y = 13y \).

\( 13y = 9 \) см (длина стороны \( AC \)).

\( y = \frac{9}{13} \) см.

\( AM = 5y = 5 \times \frac{9}{13} = \frac{45}{13} \) см.

\( MC = 8y = 8 \times \frac{9}{13} = \frac{72}{13} \) см.

Точка \( M \) лежит на стороне \( AC \). Точка \( K \) также лежит на стороне \( AC \).

Найдем расстояние от \( K \) до \( M \). Мы знаем, что \( AK = 3 \) см и \( AM = \frac{45}{13} \) см.

\( AM = \frac{45}{13} \rightharpoonup 3.46 \) см.

Так как \( AK = 3 \) см и \( AM = \frac{45}{13} \) см, точка \( K \) находится ближе к вершине \( A \) чем точка \( M \).

Расстояние \( KM = AM - AK = \frac{45}{13} - 3 \)

\( KM = \frac{45}{13} - \frac{39}{13} = \frac{6}{13} \) см.

Ответ: 6/13 см.