В3. В параллелограмме ABCD AB = 8 см, ВС = 12 см. Точки К и Е лежат соответственно на сторонах ВС и СД так, что СК = 3 см, СЕ = 2 см. Отрезок КЕ пересекает диагональ АС в точке Р. Найдите отношение АР к РС.

Решение:

В параллелограмме ABCD \( AB \parallel CD \) и \( AB = CD \), \( BC \parallel AD \) и \( BC = AD \). Также \( \angle C \) является углом между сторонами \( BC \) и \( CD \).

Дано: \( AB = 8 \) см, \( BC = 12 \) см, \( C K = 3 \) см, \( C E = 2 \) см.

Точка K лежит на BC, значит \( BK = BC - CK = 12 - 3 = 9 \) см.

Точка E лежит на CD, значит \( DE = CD - CE = 8 - 2 = 6 \) см.

Рассмотрим треугольник \( \triangle CKE \) и треугольник \( \triangle APB \).

Углы \( \angle CKE \) и \( \angle APB \) являются соответственными углами при пересечении прямых \( KE \) и \( AC \) секущей \( KE \) и прямой \( CD \) секущей \( AC \), поэтому \( \angle CKE = \angle APB \) (это неверно).

Рассмотрим подобные треугольники, используя тот факт, что \( AB \parallel CD \).

Проведем прямую KE. Она пересекает диагональ AC в точке P.

Рассмотрим треугольники \( \triangle CKP \) и \( \triangle AAP \). Это не так.

Рассмотрим треугольники \( \triangle CKP \) и \( \triangle ABP \). Угол \( \angle C \) и \( \angle A \) — внутренние односторонние при параллельных \( BC \) и \( AD \) и секущей \( AC \), то есть \( \angle BCA + \angle CAD = 180^{\circ} \). Это тоже не подходит.

Рассмотрим подобность треугольников \( \triangle CKE \) и \( \triangle ABE \) - неверно.

Из-за параллельности сторон параллелограмма \( AB \parallel CD \) и \( BC \parallel AD \), рассмотрим подобие треугольников \( \triangle CPK \) и \( \triangle APB \).

Углы \( \angle KCP \) и \( \angle BAP \) являются накрест лежащими при параллельных прямых \( BC \) и \( AD \) и секущей \( AC \), поэтому \( \angle KCP = \angle BAP \).

Углы \( \angle CKP \) и \( \angle APB \) являются вертикальными, поэтому \( \angle CKP = \angle APB \).

Следовательно, \( \triangle CKP \) подобен \( \triangle ABP \) по двум углам.

Из подобия следует отношение сторон:

\( \frac{CK}{AB} = \frac{CP}{AP} = \frac{KP}{BP} \)

Подставим известные значения:

\( CK = 3 \) см, \( AB = 8 \) см.

\( \frac{3}{8} = \frac{CP}{AP} \)

Нас интересует отношение \( \frac{AP}{PC} \). Из полученного отношения:

\( \frac{AP}{CP} = \frac{8}{3} \)

Ответ: 8/3.