С2. Баржа прошла по течению реки 40 км и, повернув обратно, прошла ещё 30 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч

Решение:

Дано:

• Расстояние по течению: \( S_1 = 40 \) км.
• Расстояние против течения: \( S_2 = 30 \) км.
• Общее время в пути: \( T = 5 \) ч.
• Скорость течения реки: \( v_{тек} = 5 \) км/ч.

Найти:

• Собственную скорость баржи: \( v_{баржи} \) км/ч.

Решение:

Обозначим собственную скорость баржи как \( v \).

Скорость баржи по течению: \( v_1 = v + v_{тек} = v + 5 \) км/ч.

Скорость баржи против течения: \( v_2 = v - v_{тек} = v - 5 \) км/ч.

Время в пути по течению: \( t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{40}{v+5} \) ч.

Время в пути против течения: \( t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{30}{v-5} \) ч.

Общее время в пути равно сумме времени движения по течению и против течения:

\[ t_1 + t_2 = T \]

\[ \frac{40}{v+5} + \frac{30}{v-5} = 5 \]

Умножим обе части уравнения на \( (v+5)(v-5) \), чтобы избавиться от знаменателей (при условии, что \( v \neq 5 \) и \( v \neq -5 \)):

\[ 40(v-5) + 30(v+5) = 5(v+5)(v-5) \]

\[ 40v - 200 + 30v + 150 = 5(v^2 - 25) \]

\[ 70v - 50 = 5v^2 - 125 \]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

\[ 5v^2 - 70v - 125 + 50 = 0 \]

\[ 5v^2 - 70v - 75 = 0 \]

Разделим все члены уравнения на 5:

\[ v^2 - 14v - 15 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 \).

Найдём корни:

\[ v_1 = \frac{-(-14) + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15 \]

\[ v_2 = \frac{-(-14) - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Так как скорость баржи не может быть отрицательной, принимаем \( v = 15 \) км/ч.

Проверим условие \( v > 5 \): \( 15 > 5 \), что верно.

Ответ: Собственная скорость баржи равна 15 км/ч.