С2. Определите, с какой скоростью будет двигаться судно массой 2 \(\u\)0002 10⁶ кг, плывущее со скоростью 10 км/ч, если из закрепленного на нем орудия массой 1000 кг, вылетает снаряд массой 70 кг со скоростью 600 м/с против хода суда.

Решение:

Применим закон сохранения импульса. Изначально система (судно + орудие + снаряд) покоится, или движется как единое целое. Вектор импульса системы до выстрела равен:

\[ \vec{p}_{до} = (m_{судна} + m_{орудия} + m_{снаряда}) \vec{v}_{начальная} \]

Где \( m_{судна} = 2 10^6 \) кг, \( m_{орудия} = 1000 \) кг, \( v_{начальная} = 10 \) км/ч. Переведем \( v_{начальная} \) в м/с:

\[ v_{начальная} = 10 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 10 \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{100}{36} = \frac{25}{9} \text{ м/с} ≈ 2.78 \text{ м/с} \]

Таким образом, \( \vec{p}_{до} = (2 10^6 + 1000 + 70) \frac{25}{9} \) м/с. Так как \( m_{судна} \) намного больше массы орудия и снаряда, можно считать, что \( m_{судна} ≈ m_{судна} + m_{орудия} + m_{снаряда} \) для оценки, но для точного расчета будем использовать полную массу.

Импульс системы после выстрела:

\[ \vec{p}_{после} = (m_{судна} + m_{орудия}) \vec{v}_{конечная} + m_{снаряда} \vec{v}_{снаряда} \]

Закон сохранения импульса:

\[ \vec{p}_{до} = \vec{p}_{после} \]

Пусть ось X направлена вдоль первоначального движения судна. Тогда:

\[ (m_{судна} + m_{орудия} + m_{снаряда}) v_{начальная} = (m_{судна} + m_{орудия}) v_{конечная} + m_{снаряда} v_{снаряда} \]

Скорость снаряда \( v_{снаряда} = -600 \) м/с (отрицательный знак, так как он вылетает против хода судна).

\[ (2 10^6 + 1000 + 70) \frac{25}{9} = (2 10^6 + 1000) v_{конечная} + 70 (-600) \]

Приближенно, так как \( m_{судна} 10^6 \) кг, а \( m_{орудия} = 1000 \) кг, то \( m_{судна} + m_{орудия} ≈ m_{судна} \).

\[ (2000000 + 1000 + 70) \frac{25}{9} = (2000000 + 1000) v_{конечная} - 42000 \]

\( 2001070 \frac{25}{9} = 2001000 v_{конечная} - 42000 \)

\( 5558527.78 ≈ 2001000 v_{конечная} - 42000 \)

\( 5558527.78 + 42000 = 2001000 v_{конечная} \)

\( 5600527.78 = 2001000 v_{конечная} \)

\( v_{конечная} = \frac{5600527.78}{2001000} ≈ 2.7989 \text{ м/с} \)

Переведем конечную скорость судна обратно в км/ч:

\( v_{конечная} = 2.7989 \text{ м/с} \frac{3600 \text{ с}}{1000 \text{ м}} = 2.7989 3.6 \text{ км/ч} ≈ 10.076 \text{ км/ч} \)

Ответ: 10.08 км/ч