Самостоятельная работа № 16 Делимость нацело и её свойства 1. Числа a и b таковы, что a делится на 3, b делится на 7. Докажите, что (7a + 3b) делится на 21. 2. Числа m и n таковы, что значение каждого из выражений m + 7 и n - 29 кратно 11. Докажите, что значение выражения m + n кратно 11. 3. Решите в целых числах уравнение x^2 - x + 5xy - 5y = 7. 4. Докажите, что при любых нечётных натуральных значениях n значение выражения 1^n + 2^n + ... + 12^n кратно 13. Самостоятельная работа № 17 Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства 1. Найдите неполное частное и остаток при делении числа m на число n: 1) m = 4, n = 23; 2) m = -61, n = 32. 2. Число x при делении на 3 даёт в остатке 1, а при делении на 4 даёт в остатке 3. Найдите остаток при делении числа x на 12. 3. Известно, что m ≡ -3 (mod 6), n ≡ -4 (mod 6). Найдите остаток при делении на 6 числа: 1) 3m - 4n; 2) mn; 3) m^2. 4. Решите в целых числах уравнение x^2 - 15y = 2.

Решение самостоятельной работы № 17: 1. 1) m = 4, n = 23 При делении 4 на 23, неполное частное равно 0, а остаток равен 4. 2) m = -61, n = 32 При делении -61 на 32, неполное частное равно -2, а остаток равен 3. Проверка: -61 = 32 * (-2) + 3 2. Пусть число x при делении на 3 даёт в остатке 1, а при делении на 4 даёт в остатке 3. Это означает, что x можно представить в виде: $$x = 3k + 1$$ (где k - некоторое целое число) $$x = 4l + 3$$ (где l - некоторое целое число) Составим уравнение: $$3k + 1 = 4l + 3$$ $$3k = 4l + 2$$ Подбором можно найти одно из решений: l = 1, k = 2. Тогда x = 3 * 2 + 1 = 7 Проверим: x = 4 * 1 + 3 = 7 Таким образом, x = 7 является одним из решений. Общее решение можно представить в виде x = 7 + 12t, где t - любое целое число. Найдем остаток при делении x на 12. $$x = 12t + 7$$ Следовательно, остаток при делении x на 12 равен 7. Ответ: 7 3. Известно, что m ≡ -3 (mod 6), n ≡ -4 (mod 6). Найдите остаток при делении на 6 числа: 1) 3m - 4n Т.к. m ≡ -3 (mod 6), то 3m ≡ 3*(-3) ≡ -9 (mod 6) Т.к. n ≡ -4 (mod 6), то 4n ≡ 4*(-4) ≡ -16 (mod 6) 3m - 4n ≡ -9 - (-16) ≡ -9 + 16 ≡ 7 ≡ 1 (mod 6) Остаток при делении 3m - 4n на 6 равен 1. 2) mn mn ≡ (-3) * (-4) ≡ 12 ≡ 0 (mod 6) Остаток при делении mn на 6 равен 0. 3) m^2 m^2 ≡ (-3)^2 ≡ 9 ≡ 3 (mod 6) Остаток при делении m^2 на 6 равен 3. 4. Решите в целых числах уравнение x^2 - 15y = 2. Рассмотрим уравнение по модулю 3: $$x^2 - 15y ≡ 2 (mod 3)$$ Т.к. 15 делится на 3, то 15y ≡ 0 (mod 3) Тогда уравнение принимает вид: $$x^2 ≡ 2 (mod 3)$$ Рассмотрим возможные остатки x при делении на 3: 0, 1, 2. Если x ≡ 0 (mod 3), то x^2 ≡ 0 (mod 3). Если x ≡ 1 (mod 3), то x^2 ≡ 1 (mod 3). Если x ≡ 2 (mod 3), то x^2 ≡ 4 ≡ 1 (mod 3). Таким образом, x^2 может давать только остатки 0 или 1 при делении на 3. Следовательно, x^2 не может быть сравнимо с 2 по модулю 3. Значит, уравнение x^2 - 15y = 2 не имеет решений в целых числах.