Самостоятельная работа № 4. Смежные и вертикальные углы. 3. Через точку провели 18 прямых. Докажите, что среди образовавшихся углов найдутся два, сумма которых меньше 21°.

18 прямых, проходящих через одну точку, образуют 36 углов вокруг этой точки. Сумма всех этих углов равна 360°.

Рассмотрим 36 пар соседних углов: для каждого угла возьмём его с углом, следующим за ним. При сложении сумм этих пар каждый из 36 углов учитывается дважды, поэтому сумма парных сумм равна 2 · 360° = 720°.

Среднее значение суммы в такой паре равно 720° : 36 = 20°. Значит, найдётся пара соседних углов, сумма которых не больше 20°, а значит, меньше 21°.

Что и требовалось доказать.