Самостоятельная работа «Действия над событиями. Формула сложения вероятностей». Вариант 3 1) Что называют произведением (пересечением) событий А и В? 2) Бросают две игральные кости. Событие А – «на первой кости выпало 2 очка». Событие В – «на второй кости выпало 3 очка» а) Выпишите все элементарные события, благоприятствующие событию $$A \cup B$$. б) Опишите словами событие $$A \cap B$$. в) Найдите вероятность события $$A \cap B$$. 3) Могут ли события А и В быть противоположными, если $$P(A) = 0,54$$, $$P(B) = 0,46$$? Объясните почему. 4) Постройте на диаграмме Эйлера следующие событие: $$\overline{A} \cup (B^2 \cup C)$$ 5) Вычислите $$P(A \cup B)$$, если $$P(A) = 0,76$$, $$P(B) = 0,69$$, $$P(A \cap B) = 0,67$$. Самостоятельная работа «Действия над событиями. Формула сложения вероятностей». Вариант 4 1) Какие события называются совместными? 2) Бросают две игральные кости. Событие А – «на первой кости выпало 5 очков». Событие В – «на второй кости выпало 1 очко» а) Выпишите все элементарные события, благоприятствующие событию $$A \cap B$$. б) Опишите словами событие $$A \cup B$$. в) Найдите вероятность события $$A \cup B$$. 3) Могут ли события А и В быть противоположными, если $$P(A) = 0,89$$, $$P(B) = 0,01$$? Объясните почему. 4) Постройте на диаграмме Эйлера следующие событие: $$\overline{A} \cap (B^2 \cup C)$$ 5) Вычислите вероятность пересечения событий А и В, если $$P(A) = 0,53$$, $$P(B) = 0,41$$, $$P(A \cup B) = 0,63$$. 5) Могут ли быть события А и В несовместными, если $$P(A) = 0,63$$, $$P(B) = 0,78$$?

Разберем задачи по порядку. Вариант 3 1) Произведением (пересечением) событий А и В называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят оба события А и В одновременно. Обозначается $$A \cap B$$. 2) Бросают две игральные кости. а) Элементарные события, благоприятствующие событию $$A \cup B$$ (A или B): {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (1,3), (3,3), (4,3), (5,3), (6,3)}. б) Событие $$A \cap B$$ (A и B) означает, что на первой кости выпало 2 очка, а на второй – 3 очка. в) Вероятность события $$A \cap B$$: так как события А и В независимы, $$P(A \cap B) = P(A) * P(B) = (1/6)*(1/6) = 1/36$$. 3) События А и В не могут быть противоположными, так как сумма их вероятностей не равна 1: $$P(A) + P(B) = 0,54 + 0,46 = 1$$. Для того, чтобы события были противоположными, необходимо чтобы их вероятности в сумме давали 1. 4) Построение диаграммы Эйлера для события $$\overline{A} \cup (B^2 \cup C)$$ требует дополнительного уточнения, так как $$B^2$$ не является стандартным обозначением в теории вероятностей. Предположим, что $$B^2$$ это опечатка и должно быть $$B'$$, то есть $$\overline{B}$$. В таком случае, нужно изобразить область, которая не принадлежит событию А, или не принадлежит событию B, или принадлежит событию C. 5) Вычислим $$P(A \cup B)$$, если $$P(A) = 0,76$$, $$P(B) = 0,69$$, $$P(A \cap B) = 0,67$$. Используем формулу сложения вероятностей: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0,76 + 0,69 - 0,67 = 0,78$$. Вариант 4 1) События называются совместными, если наступление одного события не исключает наступление другого события. То есть, если они могут произойти одновременно. 2) Бросают две игральные кости. а) Элементарные события, благоприятствующие событию $$A \cap B$$ (A и B): {(5,1)}. б) Событие $$A \cup B$$ (A или B) означает, что на первой кости выпало 5 очков, или на второй – 1 очко. в) Вероятность события $$A \cup B$$: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 1/6 + 1/6 - 1/36 = 11/36$$. 3) События А и В не могут быть противоположными, так как сумма их вероятностей не равна 1: $$P(A) + P(B) = 0,89 + 0,01 = 0,9$$. Для того, чтобы события были противоположными, необходимо чтобы их вероятности в сумме давали 1. 4) Построение диаграммы Эйлера для события $$\overline{A} \cap (B^2 \cup C)$$ требует дополнительного уточнения, так как $$B^2$$ не является стандартным обозначением в теории вероятностей. Предположим, что $$B^2$$ это опечатка и должно быть $$B'$$, то есть $$\overline{B}$$. В таком случае, нужно изобразить область, которая не принадлежит событию А, и не принадлежит событию B, или принадлежит событию C. 5) Вычислим вероятность пересечения событий А и В, если $$P(A) = 0,53$$, $$P(B) = 0,41$$, $$P(A \cup B) = 0,63$$. Используем формулу сложения вероятностей: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$. Отсюда $$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0,53 + 0,41 - 0,63 = 0,31$$. Для задачи "Могут ли быть события А и В несовместными, если $$P(A) = 0,63$$, $$P(B) = 0,78$$?" События А и В являются несовместными, если $$P(A \cap B) = 0$$. В этом случае, вероятность объединения событий $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$. Если события несовместны, то $$P(A \cup B) = 0,63 + 0,78 = 1,41$$. Но вероятность не может быть больше 1. Следовательно, события А и В не могут быть несовместными при заданных вероятностях, так как их сумма больше 1, что невозможно для несовместных событий.