Самостоятельная работа «Действия с векторами». Вариант 1. 6. D — точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника MKPF. Если MD:DP = 4:9, KD:DF = 7:3, выразите векторы MK, KD, PF, FM через векторы MP и KF.

Пусть диагонали пересекаются в точке D. Из отношения \(MD:DP=4:9\) и того, что D лежит между M и P, получаем \(\overrightarrow{MD}=\frac{4}{13}\overrightarrow{MP}\) и \(\overrightarrow{DP}=\frac{9}{13}\overrightarrow{MP}\). Следовательно, \(\overrightarrow{DM}=-\frac{4}{13}\overrightarrow{MP}\).

Аналогично, из \(KD:DF=7:3\): \(\overrightarrow{DK}=\frac{7}{10}\overrightarrow{FK}=-\frac{7}{10}\overrightarrow{KF}\), поэтому \(\overrightarrow{KD}=\frac{7}{10}\overrightarrow{KF}\) и \(\overrightarrow{DF}=\frac{3}{10}\overrightarrow{KF}\).

По правилу сложения векторов:

\(\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DK}=\frac{4}{13}\overrightarrow{MP}-\frac{7}{10}\overrightarrow{KF}\).

\(\overrightarrow{KD}=\frac{7}{10}\overrightarrow{KF}\).

\(\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DF}=-\frac{9}{13}\overrightarrow{MP}+\frac{3}{10}\overrightarrow{KF}\).

\(\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{DM}=-\frac{3}{10}\overrightarrow{KF}-\frac{4}{13}\overrightarrow{MP}\).

Ответ: \(\overrightarrow{MK}=\frac{4}{13}\overrightarrow{MP}-\frac{7}{10}\overrightarrow{KF}\); \(\overrightarrow{KD}=\frac{7}{10}\overrightarrow{KF}\); \(\overrightarrow{PF}=-\frac{9}{13}\overrightarrow{MP}+\frac{3}{10}\overrightarrow{KF}\); \(\overrightarrow{FM}=-\frac{4}{13}\overrightarrow{MP}-\frac{3}{10}\overrightarrow{KF}\).