Самостоятельная работа №10 «Формула n – го члена геометрической прогрессии» Вариант 1 1. Две из данных последовательностей являются геометрическими прогрессиями. Укажите их номера. 1) -5; -15; -45; -135; ... 2) \frac{1}{7}; \frac{1}{14}; \frac{1}{28}; \frac{1}{56}; ... 3) -5,4; -5,8; -6,2; -6,6; ... 4) -2; 10; -18; 26;... 2. Первый член и знаменатель геометрической прогрессии (aₙ) равны 1 и -5 соответственно. Найдите пятый член этой прогрессии. 3. Все члены геометрической прогрессии положительные, шестой член равен 250, а восьмой член равен 10. Найдите знаменатель этой прогрессии. 4. Найдите первый член геометрической прогрессии (aₙ), в которой: а) a₅ = \frac{1}{64}, q = \frac{1}{2}; б) a₆ = 243, q = -3.

{ "1": { "Решение": "Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается из предыдущего умножением на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии (q). Проверим каждую последовательность:
1) -5; -15; -45; -135; ...
-15 / -5 = 3
-45 / -15 = 3
-135 / -45 = 3
Знаменатель постоянный, значит, это геометрическая прогрессия.
2) \frac{1}{7}; \frac{1}{14}; \frac{1}{28}; \frac{1}{56}; ...
\frac{1}{14} / \frac{1}{7} = \frac{1}{14} * 7 = \frac{1}{2}
\frac{1}{28} / \frac{1}{14} = \frac{1}{28} * 14 = \frac{1}{2}
\frac{1}{56} / \frac{1}{28} = \frac{1}{56} * 28 = \frac{1}{2}
Знаменатель постоянный, значит, это геометрическая прогрессия.
3) -5,4; -5,8; -6,2; -6,6; ...
-5,8 - (-5,4) = -0,4
-6,2 - (-5,8) = -0,4
Это арифметическая прогрессия.
4) -2; 10; -18; 26;...
10 / -2 = -5
-18 / 10 = -1.8
Это не геометрическая и не арифметическая прогрессия.
Ответ: 1 и 2", "Ответ": "1 и 2" }, "2": { "Решение": "
Дано:
a₁ = 1
q = -5
Найти: a₅
Формула n-го члена геометрической прогрессии: aₙ = a₁ * q^(n-1)
a₅ = a₁ * q^(5-1) = 1 * (-5)⁴ = 1 * 625 = 625
Ответ: 625
", "Ответ": "625" }, "3": { "Решение": "
Дано:
a₆ = 250
a₈ = 10
Найти: q
aₙ = a₁ * q^(n-1)
a₆ = a₁ * q⁵ = 250
a₈ = a₁ * q⁷ = 10
Разделим a₈ на a₆:
(a₁ * q⁷) / (a₁ * q⁵) = 10 / 250
q² = 1/25
q = ±√(1/25) = ±1/5
Так как все члены прогрессии положительные, то q > 0. Следовательно, q = 1/5
Ответ: 1/5
", "Ответ": "1/5" }, "4": { "а": { "Решение": "
Дано:
a₅ = \frac{1}{64}
q = \frac{1}{2}
Найти: a₁
aₙ = a₁ * q^(n-1)
a₅ = a₁ * q^(5-1)
\frac{1}{64} = a₁ * (\frac{1}{2})⁴
\frac{1}{64} = a₁ * \frac{1}{16}
a₁ = \frac{1}{64} / \frac{1}{16} = \frac{1}{64} * 16 = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}
Ответ: \frac{1}{4}
", "Ответ": "1/4" }, "б": { "Решение": "
Дано:
a₆ = 243
q = -3
Найти: a₁
aₙ = a₁ * q^(n-1)
a₆ = a₁ * q^(6-1)
243 = a₁ * (-3)⁵
243 = a₁ * (-243)
a₁ = 243 / (-243) = -1
Ответ: -1
", "Ответ": "-1" } } }