Решение задач

1. Преобразуйте в многочлен, используя формулы сокращенного умножения:

a) (x - 6)²

Используем формулу квадрата разности: $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

В нашем случае a = x, b = 6. Подставляем в формулу:

$$ (x - 6)^2 = x^2 - 2 * x * 6 + 6^2 = x^2 - 12x + 36 $$

Ответ: $$x^2 - 12x + 36$$

б) (y + 5)²

Используем формулу квадрата суммы: $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

В нашем случае a = y, b = 5. Подставляем в формулу:

$$ (y + 5)^2 = y^2 + 2 * y * 5 + 5^2 = y^2 + 10y + 25 $$

Ответ: $$y^2 + 10y + 25$$

в) (2x - 3)²

Используем формулу квадрата разности: $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

В нашем случае a = 2x, b = 3. Подставляем в формулу:

$$ (2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 * (2x) * 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9 $$

Ответ: $$4x^2 - 12x + 9$$

г) (3x + 5y)²

Используем формулу квадрата суммы: $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

В нашем случае a = 3x, b = 5y. Подставляем в формулу:

$$ (3x + 5y)^2 = (3x)^2 + 2 * (3x) * (5y) + (5y)^2 = 9x^2 + 30xy + 25y^2 $$

Ответ: $$9x^2 + 30xy + 25y^2$$

2. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена:

а) x² + 4x + 4

Заметим, что это выражение похоже на квадрат суммы: $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

В нашем случае: $$a^2 = x^2$$, значит, a = x. $$b^2 = 4$$, значит, b = 2. Проверим средний член: $$2ab = 2 * x * 2 = 4x$$

Таким образом, $$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$$

Ответ: $$(x + 2)^2$$

б) 25x² - 10xy + y²

Заметим, что это выражение похоже на квадрат разности: $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

В нашем случае: $$a^2 = 25x^2$$, значит, a = 5x. $$b^2 = y^2$$, значит, b = y. Проверим средний член: $$2ab = 2 * (5x) * y = 10xy$$

Таким образом, $$25x^2 - 10xy + y^2 = (5x - y)^2$$

Ответ: $$(5x - y)^2$$

3. Упростите выражение:

а) (7x - 2)² + 28x

Сначала раскроем квадрат разности: $$(7x - 2)^2 = (7x)^2 - 2 * (7x) * 2 + 2^2 = 49x^2 - 28x + 4$$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$ (7x - 2)^2 + 28x = 49x^2 - 28x + 4 + 28x = 49x^2 + 4 $$

Ответ: $$49x^2 + 4$$

б) 32y - 2(1 + 8y)²

Сначала раскроем квадрат суммы: $$(1 + 8y)^2 = 1^2 + 2 * 1 * (8y) + (8y)^2 = 1 + 16y + 64y^2$$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$$ 32y - 2(1 + 8y)^2 = 32y - 2(1 + 16y + 64y^2) = 32y - 2 - 32y - 128y^2 = -128y^2 - 2 $$

Ответ: $$-128y^2 - 2$$

4. Упростите выражение x(x – 4) – (x – 8)² и найдите его значение при x = 0,5.

Сначала упростим выражение:

$$x(x - 4) - (x - 8)^2 = x^2 - 4x - (x^2 - 16x + 64) = x^2 - 4x - x^2 + 16x - 64 = 12x - 64$$

Теперь найдем его значение при x = 0.5:

$$12 * 0.5 - 64 = 6 - 64 = -58$$

Ответ: -58