Самостоятельная работа по теме «Свойства прямоугольного треугольника». Вариант №3 1. В прямоугольном треугольнике DKF угол D равен 30°, угол F равен 90°. Найдите гипотенузу DK этого треугольника, если катет FK равен 3,7см. 2. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°. Высота, проведённая к боковой стороне равна 8 см. Найдите основание этого треугольника. 3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, сумма гипотенузы и меньшего из катетов равны 27 см. Найдите гипотенузу.

Решение варианта №3: 1. В прямоугольном треугольнике DKF, где угол D равен 30°, угол F равен 90°, и катет FK равен 3,7 см, найдем гипотенузу DK. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. В нашем случае катет FK прилежит к углу D, равному 30°. Тогда, \(FK = DK \cdot \cos(30^\circ)\) Отсюда: \(DK = \frac{FK}{\cos(30^\circ)} = \frac{3.7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3.7 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{7.4}{\sqrt{3}} \approx 4.27 \cdot 2 = 8.54\) см. Ответ: Гипотенуза DK ≈ 8.54 см. 2. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 120°, а высота, проведенная к боковой стороне, равна 8 см. Найдем основание этого треугольника. Пусть ABC - равнобедренный треугольник, где угол B = 120°. Высота BH проведена к боковой стороне AC и равна 8 см. Пусть AH = x. Тогда, рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Угол BAH = (180° - 120°) / 2 = 30°. Значит, AH = AB * cos(30°). Высота BH = AB * sin(30°) = 8 см. Отсюда, AB = 8 / sin(30°) = 8 / 0.5 = 16 см. Тогда, AH = 16 * cos(30°) = 16 * (√3 / 2) = 8√3 см. Основание AC = 2 * AH = 2 * 8√3 = 16√3 см. Ответ: Основание треугольника равно \(16\sqrt{3}\) см. 3. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 27 см. Найдем гипотенузу. Пусть ABC - прямоугольный треугольник, где угол A = 60°, угол C = 90°, и угол B = 30°. Пусть гипотенуза AB = c, меньший катет BC = a. По условию, c + a = 27. Так как угол B = 30°, то меньший катет BC равен половине гипотенузы. То есть, a = c / 2. Тогда c + c / 2 = 27. Это значит, (3/2)c = 27. Отсюда, c = 27 * (2/3) = 18 см. Ответ: Гипотенуза равна 18 см.