Самостоятельная работа по теме "Целое уравнение". Вариант 1. 1) Определите степень уравнения. a) $$x^5+3x^6-2x^3+4x-1=0$$; б) $$(x^3-2)(3x^2+1)-3(x^5-2)=4$$. 2) Решите уравнение. a) $$(3x+7)(3x-7)-3x(x+1)=5$$; б) $$(6x-1)(x+1)=20$$. Вариант 2. 1) Определите степень уравнения. a) $$x^7-3x^6+4x^5-6=0$$; б) $$(2x^2-1)(5x^3+1)-10(x^5-3)=5$$. 2) Решите уравнение. a) $$(5x+3)(5x-3)-5x(5x-1)=x-3$$; б) $$(2x-3)(x+1)=x^2+17$$; в) $$x^3-144x=0$$; г) $$y^3-3y^2-9y+27=0$$.

Определим предмет: алгебра.

Вариант 1

1) Определите степень уравнения.

a) $$x^5+3x^6-2x^3+4x-1=0$$

Степень уравнения определяется наивысшей степенью переменной. В данном случае это 6.

Ответ: Степень уравнения равна 6.

б) $$(x^3-2)(3x^2+1)-3(x^5-2)=4$$.

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$$3x^5 + x^3 - 6x^2 - 2 - 3x^5 + 6 = 4$$

$$x^3 - 6x^2 + 4 = 4$$

$$x^3 - 6x^2 = 0$$

Степень уравнения определяется наивысшей степенью переменной. В данном случае это 3.

Ответ: Степень уравнения равна 3.

2) Решите уравнение.

a) $$(3x+7)(3x-7)-3x(x+1)=5$$.

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$$9x^2 - 49 - 3x^2 - 3x = 5$$

$$6x^2 - 3x - 49 = 5$$

$$6x^2 - 3x - 54 = 0$$

Разделим уравнение на 3:

$$2x^2 - x - 18 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = (-1)^2 - 4 cdot 2 cdot (-18) = 1 + 144 = 145$$

$$x_1 = rac{1 + sqrt{145}}{4}$$

$$x_2 = rac{1 - sqrt{145}}{4}$$

Ответ: $$x_1 = rac{1 + sqrt{145}}{4}$$, $$x_2 = rac{1 - sqrt{145}}{4}$$.

б) $$(6x-1)(x+1)=20$$.

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$$6x^2 + 6x - x - 1 = 20$$

$$6x^2 + 5x - 21 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = 5^2 - 4 cdot 6 cdot (-21) = 25 + 504 = 529$$

$$x_1 = rac{-5 + sqrt{529}}{12} = rac{-5 + 23}{12} = rac{18}{12} = rac{3}{2}$$

$$x_2 = rac{-5 - sqrt{529}}{12} = rac{-5 - 23}{12} = rac{-28}{12} = -rac{7}{3}$$

Ответ: $$x_1 = rac{3}{2}$$, $$x_2 = -rac{7}{3}$$.

Вариант 2

1) Определите степень уравнения.

a) $$x^7-3x^6+4x^5-6=0$$

Степень уравнения определяется наивысшей степенью переменной. В данном случае это 7.

Ответ: Степень уравнения равна 7.

б) $$(2x^2-1)(5x^3+1)-10(x^5-3)=5$$.

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$$10x^5 + 2x^2 - 5x^3 - 1 - 10x^5 + 30 = 5$$

$$-5x^3 + 2x^2 + 29 = 5$$

$$-5x^3 + 2x^2 + 24 = 0$$

Степень уравнения определяется наивысшей степенью переменной. В данном случае это 3.

Ответ: Степень уравнения равна 3.

2) Решите уравнение.

a) $$(5x+3)(5x-3)-5x(5x-1)=x-3$$.

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$$25x^2 - 9 - 25x^2 + 5x = x - 3$$

$$5x - 9 = x - 3$$

$$4x = 6$$

$$x = rac{6}{4} = rac{3}{2}$$

Ответ: $$x = rac{3}{2}$$.

б) $$(2x-3)(x+1)=x^2+17$$.

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$$2x^2 + 2x - 3x - 3 = x^2 + 17$$

$$2x^2 - x - 3 = x^2 + 17$$

$$x^2 - x - 20 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = (-1)^2 - 4 cdot 1 cdot (-20) = 1 + 80 = 81$$

$$x_1 = rac{1 + sqrt{81}}{2} = rac{1 + 9}{2} = rac{10}{2} = 5$$

$$x_2 = rac{1 - sqrt{81}}{2} = rac{1 - 9}{2} = rac{-8}{2} = -4$$

Ответ: $$x_1 = 5$$, $$x_2 = -4$$.

в) $$x^3-144x=0$$.

Вынесем x за скобки:

$$x(x^2 - 144) = 0$$

$$x = 0$$ или $$x^2 - 144 = 0$$

$$x^2 = 144$$

$$x_1 = 12$$, $$x_2 = -12$$

Ответ: $$x_1 = 0$$, $$x_2 = 12$$, $$x_3 = -12$$.

г) $$y^3-3y^2-9y+27=0$$.

Сгруппируем члены уравнения:

$$(y^3 - 3y^2) - (9y - 27) = 0$$

$$y^2(y - 3) - 9(y - 3) = 0$$

$$(y^2 - 9)(y - 3) = 0$$

$$(y - 3)(y + 3)(y - 3) = 0$$

$$(y - 3)^2 (y + 3) = 0$$

Ответ: $$y_1 = 3$$, $$y_2 = -3$$.