Самостоятельная работа по тригонометрическим формулам 1 Вариант 1) Упростить: $$\frac{\cos \alpha - \sin(-\alpha)}{\cos(-\alpha)} + tg(-\alpha).$$ 2) Вычислить: $$\sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \ctg \left(-\frac{\pi}{4}\right).$$ 3) Решить уравнение: $$(1 + \sin(-x)) (3 - 2\cos(-x)) = 0.$$ 4) Вычислить: $$\cos \frac{4\pi}{9} \cos \frac{5\pi}{18} + \sin \frac{4\pi}{9} \sin \frac{5\pi}{18}.$$ 5) Решить уравнение: $$1 - \cos 3x \cos 2x = \sin 3x \sin 2x.$$

Предмет: Математика 1) Упростить: $$\frac{\cos \alpha - \sin(-\alpha)}{\cos(-\alpha)} + \operatorname{tg}(-\alpha)$$ Воспользуемся свойствами тригонометрических функций: * $$\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$$ * $$\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$$ * $$\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha)$$ Тогда выражение примет вид: $$\frac{\cos \alpha - (-\sin \alpha)}{\cos \alpha} - \operatorname{tg} \alpha = \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos \alpha + \sin \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} = 1$$ Ответ: 1 2) Вычислить: $$\sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \operatorname{ctg} \left(-\frac{\pi}{4}\right)$$ Воспользуемся свойствами тригонометрических функций: * $$\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$$ * $$\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$$ * $$\operatorname{ctg}(-\alpha) = -\operatorname{ctg}(\alpha)$$ Тогда выражение примет вид: $$-\sin \frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{6} - \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = -1$$ Ответ: -1 3) Решить уравнение: $$(1 + \sin(-x)) (3 - 2\cos(-x)) = 0$$ Воспользуемся свойствами тригонометрических функций: * $$\sin(-x) = -\sin(x)$$ * $$\cos(-x) = \cos(x)$$ Тогда уравнение примет вид: $$(1 - \sin x) (3 - 2\cos x) = 0$$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1. $$1 - \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ 2. $$3 - 2\cos x = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{3}{2}$$ Так как $$|\cos x| \le 1$$, то \(\cos x = \frac{3}{2}\) не имеет решений. Ответ: $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ 4) Вычислить: $$\cos \frac{4\pi}{9} \cos \frac{5\pi}{18} + \sin \frac{4\pi}{9} \sin \frac{5\pi}{18}$$ Воспользуемся формулой косинуса суммы: $$\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$$ Тогда выражение примет вид: $$\cos \frac{4\pi}{9} \cos \frac{5\pi}{18} + \sin \frac{4\pi}{9} \sin \frac{5\pi}{18} = \cos \left(\frac{4\pi}{9} - \frac{5\pi}{18}\right) = \cos \left(\frac{8\pi - 5\pi}{18}\right) = \cos \frac{3\pi}{18} = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Ответ: $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 5) Решить уравнение: $$1 - \cos 3x \cos 2x = \sin 3x \sin 2x$$ $$1 = \cos 3x \cos 2x + \sin 3x \sin 2x$$ Воспользуемся формулой косинуса разности: $$\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$$ Тогда уравнение примет вид: $$1 = \cos (3x - 2x)$$ $$1 = \cos x$$ $$x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ Ответ: $$x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$