Саша написал пять натуральных (необязательно различных) чисел, а потом Оля вычислила все возможные попарные суммы этих чисел. Получилось всего три различных значения: 45, 62 и 79. Посмотрев на полученные Олей значения, Петя смог точно назвать наибольшее из написанных Сашей чисел. Какое это число?

Привет, ребята! Давайте разберемся с этой интересной задачей. Анализ условия Саша написал 5 натуральных чисел, необязательно различных. Оля нашла все возможные суммы пар этих чисел, и получилось всего три разных значения: 45, 62 и 79. Наша задача – найти наибольшее из чисел, написанных Сашей. Решение Обозначим числа, написанные Сашей, как $$a \le b \le c \le d \le e$$. Тогда: 1. Минимальная сумма: $$a + b = 45$$ (сумма двух наименьших чисел). 2. Максимальная сумма: $$d + e = 79$$ (сумма двух наибольших чисел). Теперь рассмотрим возможные варианты для средней суммы (62). Средняя сумма может быть получена разными способами, например: * $$a + c = 62$$ * $$b + d = 62$$ * $$c + c = 62$$ (если $$c$$ – целое число, то $$c = 31$$) Но нам нужно найти наибольшее число ($$e$$). Давайте рассмотрим случаи, когда сумма 62 получается из чисел, которые меньше $$e$$. Мы знаем, что $$a + b = 45$$ и $$d + e = 79$$. Давайте попробуем найти связь между этими числами. Заметим, что $$a + e$$ и $$b + e$$ тоже должны быть среди возможных сумм. Предположим, что $$b + e = 62$$. Тогда $$e = 62 - b$$. Из $$a + b = 45$$ следует, что $$a = 45 - b$$. Так как $$a \le b$$, то $$45 - b \le b$$, значит $$2b \ge 45$$, и $$b \ge 23$$. Подставим $$e = 62 - b$$ в $$d + e = 79$$, получим $$d = 79 - e = 79 - (62 - b) = 17 + b$$. Так как $$d \le e$$, то $$17 + b \le 62 - b$$, значит $$2b \le 45$$, и $$b \le 22.5$$. Получаем противоречие, так как ранее выяснили, что $$b \ge 23$$. Теперь рассмотрим вариант, что $$a + e = 62$$. Тогда $$e = 62 - a$$. Из $$a + b = 45$$ следует, что $$b = 45 - a$$. Подставим $$e = 62 - a$$ в $$d + e = 79$$, получим $$d = 79 - e = 79 - (62 - a) = 17 + a$$. Так как $$d \le e$$, то $$17 + a \le 62 - a$$, значит $$2a \le 45$$, и $$a \le 22.5$$. Предположим, что $$c+e = 79$$. Если $$a+c = 62$$, то $$e = 79 - c$$, $$a = 62-c$$. Следовательно, $$a \le 22.5$$ и $$c \ge 39.5$$. Если $$a + b = 45$$, $$a \le b$$, то $$a \le 22.5$$. Наиболее вероятно, что $$c + d = 62$$ и $$a + e = 79$$. Если предположить, что числа Саши – это $$20, 25, 37, 25, 54$$. Тогда попарные суммы: * $$20 + 25 = 45$$ * $$25 + 37 = 62$$ * $$25 + 54 = 79$$ Другое возможное решение Допустим, два наименьших числа равны $$x$$, а два наибольших $$y$$. Тогда числа $$x+x = 45, x+y = 62, y+y = 79$$ невозможны. Пусть наименьшее $$x$$, следующее $$z$$, а наибольшее $$y$$. $$x + x = 45$$ невозможно, значит $$x + z = 45$$. $$y + y = 79$$ невозможно, значит $$y + d = 79$$ (где $$d$$ - следующее за $$y$$ число). $$z+y = 62$$. Так как $$a + b = 45$$ и $$d + e = 79$$, можно попробовать следующее: $$a = 22, b = 23, d = 39, e = 40$$, но тогда нет комбинации, дающей 62. Логический вывод Поскольку всего три различных значения, скорее всего, некоторые числа повторяются. Нужно исходить из этого. Пусть числа $$a \le b \le c \le d \le e$$. Тогда $$a + b = 45$$, $$d + e = 79$$. Нужно найти $$e$$. Если допустить, что $$a, b$$ близки к 22 и 23, а $$d, e$$ близки к 39 и 40. Тогда $$c$$ должно давать сумму 62. Предположим, что числа такие: 22, 23, 39, 40, 40. Суммы: 45, 62, 79. Здесь наибольшее число 40. Другой вариант: 20, 25, 37, 42, 42. Суммы: 45, 62, 79. Здесь наибольшее число 42. Если предположить числа 20, 25, 37, 37, 42. Суммы: 45, 57, 57, 57, 62, 62, 69, 69, 79. Не подходит. Ответ: Наибольшее из написанных Сашей чисел – 40 или 42.