Саша загадала четырёхзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр, а у полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 151. Какую цифру зачеркнула Саша?

Решение: Пусть загаданное число имеет вид $$\overline{abcd}$$, где a, b, c, d - цифры от 0 до 9, и $$a
eq 0$$. Тогда загаданное число можно представить как $$1000a + 100b + 10c + d$$. Сумма цифр этого числа равна $$a + b + c + d$$. Саша вычла из числа сумму его цифр: $$(1000a + 100b + 10c + d) - (a + b + c + d) = 999a + 99b + 9c = 9(111a + 11b + c)$$. Полученное число делится на 9. Это означает, что сумма цифр полученного числа также делится на 9. Пусть Саша получила число $$x$$ после вычитания суммы цифр из загаданного числа. Тогда $$x = 9(111a + 11b + c)$$. Саша зачеркнула одну цифру в числе $$x$$ и получила 151. Пусть зачеркнутая цифра равна $$k$$. Тогда $$x = 151 + 10^n \cdot k$$, где $$n$$ - позиция зачеркнутой цифры (0, 1, 2 или 3). Так как $$x$$ делится на 9, то $$151 + 10^n \cdot k$$ также делится на 9. Сумма цифр числа 151 равна $$1 + 5 + 1 = 7$$. Чтобы число $$151 + 10^n \cdot k$$ делилось на 9, нужно, чтобы сумма его цифр делилась на 9. Сумма цифр числа $$x$$ должна быть кратна 9. То есть $$7 + k$$ должно быть кратно 9. Так как $$k$$ - это цифра (от 0 до 9), то $$7 + k$$ может быть либо 9, либо 18. Если $$7 + k = 9$$, то $$k = 2$$. Если $$7 + k = 18$$, то $$k = 11$$, что невозможно, так как k - цифра. Значит, Саша зачеркнула цифру 2. Тогда $$x = 151 + 200 = 351$$ или $$x = 151 + 20 = 171$$ или $$x = 151 + 2 = 153$$ или $$x = 151 + 2000 = 2151$$. Проверим какие из них делятся на 9. 351/9 = 39. $$351 = 9*(111*0 + 11*3 + 6) = 9*(33+6) = 9*39 = 351$$. Например число 351 полученно если было число 396. 171/9 = 19. $$171 = 9*(111*0 + 11*1 + 8) = 9*(11+8) = 9*19 = 171$$. Например, число 171 полученно если было число 190. 153/9 = 17. $$153 = 9*(111*0 + 11*1 + 6) = 9*(11+6) = 9*17 = 153$$. Например число 153 полученно если было число 171. 2151/9 = 239. 2151 = 9*(111*2 + 11*0 + 2) = 9* (222+0+2) = 9 * 238 + 9. Не подходит! Следовательно, $$x$$ = 351. Тогда $$9(111a + 11b + c) = 351 => 111a + 11b + c = 39$$. a=0, b =3, c = 6. Рассмотрим вариант $$111*0 + 11*3 + 6 = 33+6=39$$. И сумма цифр $$0+3+6=9$$ Рассмотрим вариант $$111*1 + 11*2 + 6 = 111+22+6= 139$$. Не подходит, так как число 351 получилось из числе, из которого отняли число. Ответ: 2