4. Считаем делители. Пусть разложение натурального числа $$n$$ на различные простые множители имеет вид $$n = p^s q^t \dots$$, где $$s, t - это$$ положительные натуральные числа. Найди максимально возможное количество натуральных делителей числа $$n^3$$, если $$n^2$$ имеет 81 натуральный делитель.

Разберем задачу по шагам. 1. Анализ условия: * $$n = p^s q^t ...$$, где p, q - простые числа, s, t - натуральные числа. * Количество делителей числа $$n$$ равно $$(s+1)(t+1)...$$ * Число $$n^2$$ имеет 81 делитель, т.е. количество делителей $$n^2$$ равно $$(2s+1)(2t+1)... = 81$$ * Нужно найти максимальное количество делителей $$n^3$$. Количество делителей $$n^3$$ равно $$(3s+1)(3t+1)...$$ 2. Найдем возможные варианты для делителей числа $$n^2$$: Число 81 можно представить в виде произведения натуральных чисел несколькими способами: * $$81 = 81$$ * $$81 = 9 cdot 9$$ * $$81 = 3 cdot 3 cdot 9$$ * $$81 = 3 cdot 3 cdot 3 cdot 3$$ 3. Рассмотрим каждый случай: * Случай 1: $$(2s+1) = 81$$, тогда $$2s = 80$$, $$s = 40$$. Значит, $$n = p^{40}$$. Тогда количество делителей $$n^3$$ равно $$3s+1 = 3 cdot 40 + 1 = 121$$. * Случай 2: $$(2s+1)(2t+1) = 9 cdot 9$$, тогда $$2s+1 = 9$$ и $$2t+1 = 9$$. Значит, $$2s = 8$$, $$s = 4$$ и $$2t = 8$$, $$t = 4$$. Следовательно, $$n = p^4 q^4$$. Тогда количество делителей $$n^3$$ равно $$(3s+1)(3t+1) = (3 cdot 4 + 1)(3 cdot 4 + 1) = 13 cdot 13 = 169$$. * Случай 3: $$(2s+1)(2t+1)(2u+1) = 3 cdot 3 cdot 9$$, тогда $$2s+1 = 3$$, $$2t+1 = 3$$ и $$2u+1 = 9$$. Значит, $$2s = 2$$, $$s = 1$$, $$2t = 2$$, $$t = 1$$ и $$2u = 8$$, $$u = 4$$. Следовательно, $$n = p^1 q^1 r^4$$. Тогда количество делителей $$n^3$$ равно $$(3s+1)(3t+1)(3u+1) = (3 cdot 1 + 1)(3 cdot 1 + 1)(3 cdot 4 + 1) = 4 cdot 4 cdot 13 = 208$$. * Случай 4: $$(2s+1)(2t+1)(2u+1)(2v+1) = 3 cdot 3 cdot 3 cdot 3$$, тогда $$2s+1 = 3$$, $$2t+1 = 3$$, $$2u+1 = 3$$ и $$2v+1 = 3$$. Значит, $$2s = 2$$, $$s = 1$$, $$2t = 2$$, $$t = 1$$, $$2u = 2$$, $$u = 1$$ и $$2v = 2$$, $$v = 1$$. Следовательно, $$n = p^1 q^1 r^1 w^1$$. Тогда количество делителей $$n^3$$ равно $$(3s+1)(3t+1)(3u+1)(3v+1) = (3 cdot 1 + 1)(3 cdot 1 + 1)(3 cdot 1 + 1)(3 cdot 1 + 1) = 4 cdot 4 cdot 4 cdot 4 = 256$$. 4. Выбираем максимальное значение: Сравниваем полученные значения: 121, 169, 208, 256. Максимальное количество делителей равно 256. Ответ: 256