Сечение цилиндра, проведённое параллельное его оси, находится на расстоянии 2 от неё и представляет собой квадрат. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $$8π\sqrt{3}$$. Найдите площадь сечения.

Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти сторону квадрата, который является сечением, а затем вычислить его площадь. 1. Найдем радиус цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $$2πRh$$, где $$R$$ - радиус основания, $$h$$ - высота цилиндра. В нашем случае площадь равна $$8π\sqrt{3}$$. Так как сечение - квадрат, высота цилиндра равна стороне квадрата, обозначим ее за $$a$$. Получаем: $$2πRa = 8π\sqrt{3}$$ $$Ra = 4\sqrt{3}$$ 2. Найдем сторону квадрата. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом $$R$$, половиной стороны квадрата $$a/2$$ и расстоянием от оси цилиндра до сечения, которое равно 2. По теореме Пифагора: $$R^2 = (a/2)^2 + 2^2$$ $$R^2 = \frac{a^2}{4} + 4$$ 3. Решим систему уравнений. У нас есть два уравнения: $$Ra = 4\sqrt{3}$$ $$R^2 = \frac{a^2}{4} + 4$$ Выразим $$R$$ из первого уравнения: $$R = \frac{4\sqrt{3}}{a}$$ и подставим во второе уравнение: $$(\frac{4\sqrt{3}}{a})^2 = \frac{a^2}{4} + 4$$ $$\frac{16*3}{a^2} = \frac{a^2}{4} + 4$$ $$\frac{48}{a^2} = \frac{a^2 + 16}{4}$$ $$192 = a^4 + 16a^2$$ $$a^4 + 16a^2 - 192 = 0$$ Пусть $$x = a^2$$, тогда уравнение примет вид: $$x^2 + 16x - 192 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = 16^2 - 4*(-192) = 256 + 768 = 1024$$ $$x_1 = \frac{-16 + \sqrt{1024}}{2} = \frac{-16 + 32}{2} = \frac{16}{2} = 8$$ $$x_2 = \frac{-16 - \sqrt{1024}}{2} = \frac{-16 - 32}{2} = \frac{-48}{2} = -24$$ (не подходит, так как $$a^2$$ не может быть отрицательным) Значит, $$a^2 = 8$$, и $$a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$. 4. Вычислим площадь сечения. Так как сечение - квадрат со стороной $$a$$, его площадь равна $$a^2$$: $$S = a^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 * 2 = 8$$ Ответ: 8