Середина отрезка BD является центром окружности с диаметром AC, причем точки A, B, C, D не лежат на одной прямой. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Обозначим середину отрезка \(BD\) точкой \(O\). По условию точка \(O\) является центром окружности с диаметром \(AC\), поэтому точки \(A\) и \(C\) лежат на этой окружности.

Следовательно, \(OA = OC\), то есть точка \(O\) является серединой отрезка \(AC\).

По условию \(O\) — середина отрезка \(BD\). Значит, диагонали \(AC\) и \(BD\) четырехугольника ABCD пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Если диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Что и требовалось доказать.