25. Середина P стороны ML выпуклого четырёхугольника MNKL равноудалена от всех его вершин. Найди ML, если NK = 12, а углы N и K четырёхугольника равны соответственно 120° и 105°. В ответе укажи длину ML, делённую на \(\sqrt{2}\).

Здравствуйте, ученики! Давайте разберем эту задачу вместе. 1. **Понимание условия**: У нас есть выпуклый четырёхугольник MNKL. Точка P – середина стороны ML. Известно, что P равноудалена от всех вершин четырёхугольника, то есть PM = PN = PK = PL. Также дано, что NK = 12, углы N и K равны 120° и 105° соответственно. Наша цель – найти длину ML, делённую на \(\sqrt{2}\). 2. **Анализ**: Так как P – середина ML и PM = PN = PK = PL, то P – центр окружности, описанной вокруг MNKL, и ML – диаметр этой окружности. Значит, \(ML = 2 cdot PN\). 3. **Использование углов**: Зная углы N и K, мы можем найти углы M и L, так как сумма углов четырёхугольника равна 360°: \[\angle M + \angle N + \angle K + \angle L = 360^\circ\] \[\angle M + 120^\circ + 105^\circ + \angle L = 360^\circ\] \[\angle M + \angle L = 360^\circ - 120^\circ - 105^\circ = 135^\circ\] 4. **Свойства вписанного четырехугольника**: Вписанный четырёхугольник MNKL обладает свойством: сумма противоположных углов равна 180°. \[\angle M + \angle K = 180^\circ\] \[\angle L + \angle N = 180^\circ\] Отсюда находим углы M и L: \[\angle M = 180^\circ - \angle K = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ\] \[\angle L = 180^\circ - \angle N = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\] 5. **Применение теоремы синусов**: В треугольнике MNK применим теорему синусов: \[\frac{NK}{\sin \angle M} = 2R\] где R – радиус описанной окружности, и \(ML = 2R\). \[\frac{12}{\sin 75^\circ} = ML\] 6. **Вычисление \(\sin 75^\circ\)**: \(\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\) 7. **Нахождение ML**: \[ML = \frac{12}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{48}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\] Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(\sqrt{6} - \sqrt{2}\): \[ML = \frac{48(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{48(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{48(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 12(\sqrt{6} - \sqrt{2})\] 8. **Нахождение \(\frac{ML}{\sqrt{2}}\)**: \[\frac{ML}{\sqrt{2}} = \frac{12(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{2}} = 12(\sqrt{3} - 1)\] Приблизительно, \(\sqrt{3} \approx 1.732\), тогда \[12(\sqrt{3} - 1) \approx 12(1.732 - 1) = 12(0.732) = 8.784\] 9. **Окончательный ответ**: Округлим до целого числа, получим 9. **Ответ:** \(12(\sqrt{3} - 1)\) ≈ **9**