46 Сергею нужно было найти среднее арифметическое всех натуральных чисел от 1 до 100. Он вычислил его так: 1+100 = 50,5. 2 а) Верно ли Сергей нашёл среднее арифметическое? б) Приведите пример другого набора чисел, среднее арифметическое которого равно полусумме наименьшего и наибольшего чисел. в) Приведите пример набора, для которого такой способ вычисления среднего даёт неверный результат.

а) Чтобы найти среднее арифметическое всех натуральных чисел от 1 до 100, нужно сложить все числа от 1 до 100 и разделить на их количество, то есть на 100. Сергей же нашёл полусумму первого и последнего чисел. Проверим, верен ли ответ Сергея.

Сумма всех чисел от 1 до 100 может быть найдена по формуле суммы арифметической прогрессии: $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$, где $$n$$ - количество членов, $$a_1$$ - первый член, $$a_n$$ - последний член.

В нашем случае: $$n = 100$$, $$a_1 = 1$$, $$a_{100} = 100$$.

Сумма: $$S_{100} = \frac{100(1 + 100)}{2} = \frac{100 \cdot 101}{2} = 50 \cdot 101 = 5050$$.

Среднее арифметическое: $$\frac{5050}{100} = 50,5$$.

Полусумма первого и последнего чисел: $$\frac{1 + 100}{2} = \frac{101}{2} = 50,5$$.

Да, Сергей нашёл верное среднее арифметическое.

б) Примером другого набора чисел, среднее арифметическое которого равно полусумме наименьшего и наибольшего чисел, может быть любая арифметическая прогрессия. Например, набор: 5, 10, 15, 20, 25.

Наименьшее число: 5.

Наибольшее число: 25.

Полусумма: $$\frac{5 + 25}{2} = \frac{30}{2} = 15$$.

Среднее арифметическое: $$\frac{5 + 10 + 15 + 20 + 25}{5} = \frac{75}{5} = 15$$.

в) Примером набора чисел, для которого такой способ вычисления среднего даёт неверный результат, может быть любой набор чисел, не являющийся арифметической прогрессией. Например, набор: 2, 4, 6, 9, 12.

Наименьшее число: 2.

Наибольшее число: 12.

Полусумма: $$\frac{2 + 12}{2} = \frac{14}{2} = 7$$.

Среднее арифметическое: $$\frac{2 + 4 + 6 + 9 + 12}{5} = \frac{33}{5} = 6,6$$.

В данном случае, полусумма наименьшего и наибольшего чисел (7) не равна среднему арифметическому (6,6).

Ответ: а) Да, Сергей нашёл верное среднее арифметическое. б) 5, 10, 15, 20, 25. в) 2, 4, 6, 9, 12.