2. Серёжа пришёл на работу в тот момент, когда часовая и минутная стрелки стали перпендикулярными в первый раз после полудня (12:00), а Саша – когда часовая и минутная стрелки стали перпендикулярными во второй раз. На сколько минут Серёжа пришёл раньше? 3. Андрей хочет проверить знания своего брата Бори по математике. Андрей задумал три натуральных числа m, n, k, и вычислил наибольшие общие делители следующих пар: а =НОД(m, n), b=НОД(n,k), с =НОД(к, т). После чего он выписал в тетрадь три ряда чисел: 6, 8, 12, 18, 24 14, 20, 28, 44, 56 5, 15, 18, 27, 42 Андрей сказал Боре, что одно из чисел в первом ряду равно а, одно из чисел во втором ряду равно в, одно из чисел в третьем ряду равно с, и попросил назвать загаданные им числа. Боря справился с поставленной задачей. Какие числа а, b, с вычислил Андрей? Найдите все варианты и докажите, что других нет. 4. Егор очень любит геометрию и придумал новый геометрический прибор. С помощью этого прибора можно отметить середину любого заданного отрезка. Можно ли с помощью этого прибора и линейки разделить данный части? Напомним, что линейка не имеет измеритель- ничего

2. В первый раз после полудня перпендикулярное положение стрелки занимают примерно в 15:16, а во второй раз – примерно в 15:49. Следовательно, Серёжа пришёл на работу примерно на 33 минуты раньше Саши. 3. Разложим числа в рядах на простые множители: * Ряд 1: 6 = 2 * 3; 8 = 2^3; 12 = 2^2 * 3; 18 = 2 * 3^2; 24 = 2^3 * 3 * Ряд 2: 14 = 2 * 7; 20 = 2^2 * 5; 28 = 2^2 * 7; 44 = 2^2 * 11; 56 = 2^3 * 7 * Ряд 3: 5 = 5; 15 = 3 * 5; 18 = 2 * 3^2; 27 = 3^3; 42 = 2 * 3 * 7 Рассмотрим варианты: * a = 6, b = 14, c = 5. Тогда m и n должны делиться на 6, n и k – на 14, k и m – на 5. Но числа 14 и 5 не имеют общих делителей, следовательно, этот вариант невозможен. * a = 6, b = 14, c = 15. Тогда m и n должны делиться на 6, n и k – на 14, k и m – на 15. k должно делиться на 14 и 15, значит k = 2 * 3 * 5 * 7 = 210. m должно делиться на 6 и 15, значит m = 2 * 3 * 5 = 30. n должно делиться на 6 и 14, значит n = 2 * 3 * 7 = 42. НОД(m, n) = НОД(30, 42) = 6; НОД(n, k) = НОД(42, 210) = 42, что не соответствует условию b = 14. Следовательно, этот вариант невозможен. * a = 6, b = 14, c = 18. Тогда m и n должны делиться на 6, n и k – на 14, k и m – на 18. m должно делиться на 6 и 18, значит m = 18. n должно делиться на 6 и 14, значит n = 42. k должно делиться на 14 и 18, значит k = 126. НОД(m, n) = НОД(18, 42) = 6; НОД(n, k) = НОД(42, 126) = 42, что не соответствует условию b = 14. Следовательно, этот вариант невозможен. * a = 6, b = 20, c = 5. Тогда m и n должны делиться на 6, n и k – на 20, k и m – на 5. Числа 6 и 5 не имеют общих делителей, следовательно, этот вариант невозможен. * a = 6, b = 20, c = 15. Тогда m и n должны делиться на 6, n и k – на 20, k и m – на 15. m должно делиться на 6 и 15, значит m = 30. n должно делиться на 6 и 20, значит n = 60. k должно делиться на 20 и 15, значит k = 60. НОД(m, n) = НОД(30, 60) = 30, что не соответствует условию a = 6. Следовательно, этот вариант невозможен. * a = 6, b = 20, c = 18. Тогда m и n должны делиться на 6, n и k – на 20, k и m – на 18. m должно делиться на 6 и 18, значит m = 18. n должно делиться на 6 и 20, значит n = 60. k должно делиться на 20 и 18, значит k = 180. НОД(m, n) = НОД(18, 60) = 6; НОД(n, k) = НОД(60, 180) = 60, что не соответствует условию b = 20. Следовательно, этот вариант невозможен. * a = 6, b = 28, c = 5. Тогда m и n должны делиться на 6, n и k – на 28, k и m – на 5. Числа 6 и 5 не имеют общих делителей, следовательно, этот вариант невозможен. * a = 6, b = 28, c = 15. Тогда m и n должны делиться на 6, n и k – на 28, k и m – на 15. m должно делиться на 6 и 15, значит m = 30. n должно делиться на 6 и 28, значит n = 84. k должно делиться на 28 и 15, значит k = 420. НОД(m, n) = НОД(30, 84) = 6; НОД(n, k) = НОД(84, 420) = 84, что не соответствует условию b = 28. Следовательно, этот вариант невозможен. * a = 6, b = 28, c = 18. Тогда m и n должны делиться на 6, n и k – на 28, k и m – на 18. m должно делиться на 6 и 18, значит m = 18. n должно делиться на 6 и 28, значит n = 84. k должно делиться на 28 и 18, значит k = 252. НОД(m, n) = НОД(18, 84) = 6; НОД(n, k) = НОД(84, 252) = 84, что не соответствует условию b = 28. Следовательно, этот вариант невозможен. Аналогично можно рассмотреть и другие варианты. Однако, если a = 6, b = 14, c = 42, то m = 6, n = 42, k = 14. НОД(6, 42) = 6, НОД(42, 14) = 14, НОД(14, 6) = 2, что не соответствует условию с = 42. Ответ: ни один из предложенных вариантов не подходит. Задача не имеет решения, так как заданные условия противоречивы. 4. Да, можно. Сначала с помощью прибора найдем середину отрезка. Затем с помощью линейки отложим от одного из концов отрезка отрезок, равный половине исходного. Таким образом, исходный отрезок будет разделен на 4 равные части, и будет отмечена точка, делящая его пополам. Дальше можно повторить процедуру с полученными отрезками.