Сформулируйте и докажите теорему о перпендикуляре, проведённом из данной точки к данной прямой.

Теорема о перпендикуляре к прямой

Теорема: Из точки, не лежащей на данной прямой, можно провести к этой прямой один перпендикуляр.

Доказательство:

1. Пусть дана точка \( A \) и прямая \( l \).
2. Возьмем на прямой \( l \) точку \( B \).
3. Проведем прямую \( AB \).
4. Если \( AB \) перпендикулярна \( l \), то \( AB \) — искомый перпендикуляр.
5. Если \( AB \) не перпендикулярна \( l \), то проведем из точки \( A \) перпендикуляр \( AC \) к прямой \( l \) (его существование доказывается отдельно, например, с помощью построений).
6. Предположим, что можно провести другой перпендикуляр \( AD \) из точки \( A \) к прямой \( l \), отличный от \( AC \).
7. В \( \triangle ACD \) угол \( \angle C = 90^{\circ} \). Угол \( \angle D \) будет острым, так как \( \angle ACD + \angle CAD + \angle D = 180^{\circ} \) и \( \angle ACD = 90^{\circ} \).
8. В прямоугольном треугольнике \( \triangle ACD \) сторона \( AC \) лежит против острого угла \( \angle D \), а сторона \( AD \) — против прямого угла \( \angle C \).
9. Следовательно, \( AC < AD \).
10. Это противоречит теореме о соотношении между стороной и углом в прямоугольном треугольнике (сторона, лежащая против большего угла, больше).
11. Значит, из точки \( A \) к прямой \( l \) можно провести только один перпендикуляр.