Сформулируйте и докажите третий признак равенства треугольников. Что означает «треугольник - жесткая фигура»?

Третий признак равенства треугольников (по трем сторонам): Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника: $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$, у которых $$AB = A_1B_1$$, $$BC = B_1C_1$$, и $$CA = C_1A_1$$. Докажем, что $$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$$.

Приложим треугольник $$ABC$$ к треугольнику $$A_1B_1C_1$$ так, чтобы вершина $$A$$ совпала с вершиной $$A_1$$, вершина $$B$$ — с вершиной $$B_1$$, и вершина $$C$$ оказалась по другую сторону от $$A_1B_1$$, чем вершина $$C_1$$. Тогда возможны два случая (см. рисунок):

Случай 1: Отрезок $$C_1C$$ пересекает отрезок $$A_1B_1$$.

Так как $$A_1C = A_1C_1$$ и $$B_1C = B_1C_1$$, то треугольники $$A_1CC_1$$ и $$B_1CC_1$$ — равнобедренные. Следовательно, $$\angle 1 = \angle 2$$ и $$\angle 3 = \angle 4$$. Отсюда следует, что $$\angle A_1CB_1 = \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 = \angle A_1C_1B_1$$. Таким образом, $$\triangle A_1CB_1 = \triangle A_1C_1B_1$$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Случай 2: Отрезок $$C_1C$$ не пересекает отрезок $$A_1B_1$$.

В этом случае $$angle A_1CB_1 = \angle 1 - \angle 3 = \angle 2 - \angle 4 = \angle A_1C_1B_1$$. Таким образом, $$\triangle A_1CB_1 = \triangle A_1C_1B_1$$ по первому признаку равенства треугольников.

Следовательно, в обоих случаях $$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$$, что и требовалось доказать.

Что означает «треугольник — жесткая фигура»?

Это означает, что треугольник нельзя деформировать, не меняя длины его сторон. Если известны длины трех сторон треугольника, то его форма и размеры определены однозначно. В отличие от треугольника, четырехугольник не является жесткой фигурой, так как его можно деформировать, не меняя длины сторон.