Сформулируйте признаки параллелограмма. (Докажите один из них по выбору)

Признаки параллелограмма:

1. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.


2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.


3. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.


4. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство признака 2 (по равным противоположным сторонам):

Пусть в четырехугольнике ABCD стороны AB = CD и BC = AD. Нужно доказать, что ABCD - параллелограмм.

Доказательство:

Проведем диагональ AC. Рассмотрим треугольники ABC и CDA.

• AB = CD (по условию)


• BC = AD (по условию)


• AC - общая сторона

Следовательно, треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠BAC = ∠DCA и ∠BCA = ∠DAC.

Так как ∠BAC = ∠DCA, то прямые AB и CD параллельны (как накрест лежащие углы при секущей AC).

Так как ∠BCA = ∠DAC, то прямые BC и AD параллельны (как накрест лежащие углы при секущей AC).

Таким образом, в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, следовательно, ABCD - параллелограмм (по определению).

Что и требовалось доказать.