Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Пусть даны две параллельные прямые (a) и (b), которые пересечены секущей (c).

Теоремы

1. Соответственные углы равны. Если прямые (a) и (b) параллельны, то соответственные углы, образованные секущей (c), равны.
2. Накрест лежащие углы равны. Если прямые (a) и (b) параллельны, то накрест лежащие углы, образованные секущей (c), равны.
3. Сумма односторонних углов равна 180°. Если прямые (a) и (b) параллельны, то сумма односторонних углов, образованных секущей (c), равна 180 градусам.

Доказательство свойства о равенстве накрест лежащих углов методом от противного

Дано: Прямые (a) и (b) параллельны, секущая (c) пересекает их. (∠1) и (∠2) - накрест лежащие углы.

Предположение: Пусть накрест лежащие углы (∠1) и (∠2) не равны, то есть (∠1 ≠ ∠2).

Доказательство:

Предположим, что (∠1 ≠ ∠2). Тогда через точку пересечения прямой (c) и прямой (b) можно провести прямую (b'), такую, что (∠1) и соответствующий угол, образованный прямой (b') и секущей (c), будут равны.

Таким образом, прямая (b') будет параллельна прямой (a) (по признаку равенства накрест лежащих углов). Получается, что через одну и ту же точку (точку пересечения (b) и (c)) проходят две прямые ((b) и (b')), параллельные прямой (a). Это противоречит аксиоме параллельных прямых, которая утверждает, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Вывод:

Предположение о том, что (∠1 ≠ ∠2), неверно. Следовательно, накрест лежащие углы (∠1) и (∠2) равны.

Утверждение доказано методом от противного.