Шестеро крестьян купить лошадь. Иван заплатил 1/6 суммы, Петр — 1/6 остатка, Кузьма — 1/6 всего остатка, Архип — недостающей к 1.

Решение:

1. Обозначим полную стоимость лошади как \( C \).
2. Иван заплатил \( \frac{1}{6} C \).
3. Остаток после Ивана: \( C - \frac{1}{6} C = \frac{5}{6} C \).
4. Петр заплатил \( \frac{1}{6} \) от этого остатка: \( \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} C = \frac{5}{36} C \).
5. Общая сумма, уплаченная Иваном и Петром: \( \frac{1}{6} C + \frac{5}{36} C = \frac{6}{36} C + \frac{5}{36} C = \frac{11}{36} C \).
6. Остаток после Петра: \( C - \frac{11}{36} C = \frac{25}{36} C \).
7. Кузьма заплатил \( \frac{1}{6} \) от всего остатка (то есть от \( \frac{25}{36} C \)): \( \frac{1}{6} \cdot \frac{25}{36} C = \frac{25}{216} C \).
8. Общая сумма, уплаченная Иваном, Петром и Кузьмой: \( \frac{11}{36} C + \frac{25}{216} C = \frac{66}{216} C + \frac{25}{216} C = \frac{91}{216} C \).
9. Архип заплатил сумму, недостающую до полной стоимости лошади. То есть, Архип заплатил: \( C - \frac{91}{216} C = \frac{125}{216} C \).
10. Теперь нужно понять, какую часть от общей суммы заплатил Архип. Эта доля равна \( \frac{125}{216} \).
11. Далее, условие гласит "Архип — недостающей к 1". Это можно интерпретировать как Архип заплатил недостающую часть, чтобы общая сумма стала равной 1 (или полному стоимости лошади).
12. Таким образом, доля Архипа равна \( \frac{125}{216} \) от стоимости лошади.
13. Сумма, уплаченная всеми, равна \( \frac{1}{6} C + \frac{5}{36} C + \frac{25}{216} C + \frac{125}{216} C \) (доля Архипа).
14. \( \frac{1}{6} = \frac{36}{216} \).
15. \( \frac{5}{36} = \frac{30}{216} \).
16. \( \frac{25}{216} \).
17. \( \frac{125}{216} \).
18. Сумма долей: \( \frac{36 + 30 + 25 + 125}{216} = \frac{216}{216} = 1 \).
19. Следовательно, Архип заплатил \( \frac{125}{216} \) стоимости лошади.
20. Если бы вопрос был о доле Архипа, то ответ \( \frac{125}{216} \).
21. Если условие "Архип - недостающей к 1" означает, что Архип внес сумму, которая сделала общую сумму равной 1 (полной стоимости), то он и внес эту недостающую часть.
22. Доля Архипа = 1 - (доля Ивана + доля Петра + доля Кузьмы) = 1 - \( \frac{91}{216} \) = \( \frac{125}{216} \).

Ответ: Архип заплатил \( \frac{125}{216} \) стоимости лошади.