5. Ширина прямоугольника вдвое меньше его длины. Если ширину увеличить на 3 см, а длину – на 2 см, то площадь его увеличится на 78 см². Найдите длину и ширину прямоугольника.

Решение: Пусть ширина прямоугольника равна $$x$$ см, тогда длина равна $$2x$$ см. Площадь прямоугольника равна $$2x^2$$ см². Если ширину увеличить на 3 см, то она станет $$x + 3$$ см. Если длину уменьшить на 2 см, то она станет $$2x - 2$$ см. Площадь нового прямоугольника равна $$(x + 3)(2x - 2)$$ см². По условию, площадь увеличится на 78 см², поэтому: $$(x + 3)(2x - 2) - 2x^2 = 78$$ $$2x^2 - 2x + 6x - 6 - 2x^2 = 78$$ $$4x - 6 = 78$$ $$4x = 84$$ $$x = 21$$ Ширина прямоугольника равна 21 см, а длина равна $$2 * 21 = 42$$ см. Ответ: Ширина 21 см, длина 42 см.