2 sin²x + 3 cos x = 0;

Ответ: x = ±(π - arccos(3/2)) + 2πn, n ∈ Z

1. Используем основное тригонометрическое тождество: \[sin^2 x + cos^2 x = 1 \Rightarrow sin^2 x = 1 - cos^2 x\]
2. Подставим в уравнение: \[2(1 - cos^2 x) + 3 cos x = 0\]
3. Раскроем скобки и перегруппируем: \[2 - 2cos^2 x + 3 cos x = 0 \Rightarrow 2cos^2 x - 3 cos x - 2 = 0\]
4. Сделаем замену \(y = cos x\): \[2y^2 - 3y - 2 = 0\]
5. Решаем квадратное уравнение: \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25\] \[y_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2, \quad y_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}\]
6. Возвращаемся к замене: \[cos x = 2 \quad \text{или} \quad cos x = -\frac{1}{2}\]
7. Первое уравнение не имеет решений, так как косинус не может быть больше 1.
8. Решаем второе уравнение: \[cos x = -\frac{1}{2}\] \[x = \pm arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\] \[x = \pm (\pi - arccos(\frac{1}{2})) + 2\pi n = \pm (\pi - \frac{\pi}{3}) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]

Ответ: x = ±(π - arccos(3/2)) + 2πn, n ∈ Z