9. 3sin²x + 14sinxcosx+8cos²x = 0

9. Решить уравнение: $$3sin^2x + 14sinxcosx + 8cos^2x = 0$$

Решение:

Разделим обе части уравнения на $$cos^2x$$, при условии, что $$cosx
e 0$$:

$$3\frac{sin^2x}{cos^2x} + 14\frac{sinxcosx}{cos^2x} + 8\frac{cos^2x}{cos^2x} = 0$$

$$3tg^2x + 14tgx + 8 = 0$$

Сделаем замену: $$t = tgx$$, тогда уравнение примет вид:

$$3t^2 + 14t + 8 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 196 - 96 = 100$$

$$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 + 10}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$$

$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 - 10}{6} = \frac{-24}{6} = -4$$

Вернемся к замене:

1) $$tgx = -\frac{2}{3}$$

$$x = arctg(-\frac{2}{3}) + \pi n, n \in Z$$

$$x = -arctg(\frac{2}{3}) + \pi n, n \in Z$$

2) $$tgx = -4$$

$$x = arctg(-4) + \pi n, n \in Z$$

$$x = -arctg(4) + \pi n, n \in Z$$

Если $$cosx = 0$$, то $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$$, тогда:

$$3sin^2(\frac{\pi}{2} + \pi n) + 14sin(\frac{\pi}{2} + \pi n)cos(\frac{\pi}{2} + \pi n) + 8cos^2(\frac{\pi}{2} + \pi n) = 0$$

$$3 \cdot 1 + 14 \cdot 1 \cdot 0 + 8 \cdot 0 = 0$$

$$3 = 0$$ - неверно, следовательно, $$cosx
e 0$$.

Ответ: $$x = -arctg(\frac{2}{3}) + \pi n, n \in Z$$, $$x = -arctg(4) + \pi n, n \in Z$$