589. Синус острого угла прямоугольного треугольника равен $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс второго острого угла этого треугольника.

$$\qquad$$Рассмотрим прямоугольный треугольник, где один из острых углов, назовем его $$\alpha$$, имеет синус, равный $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$. $$\qquad$$1. Найдем косинус угла $$\alpha$$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$$ Подставим известное значение синуса: $$\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 + \cos^2(\alpha) = 1$$ $$\frac{3}{9} + \cos^2(\alpha) = 1$$ $$\cos^2(\alpha) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$ $$\cos(\alpha) = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$ (Косинус положителен, так как угол острый). $$\qquad$$2. Найдем тангенс угла $$\alpha$$: $$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\qquad$$3. Найдем котангенс угла $$\alpha$$: $$\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$ $$\qquad$$Теперь рассмотрим второй острый угол, назовем его $$\beta$$. Так как в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусов, то $$\beta = 90^\circ - \alpha$$. $$\qquad$$Вспомним, что: $$\sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)$$ $$\cos(90^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$$ $$\tan(90^\circ - \alpha) = \cot(\alpha)$$ $$\cot(90^\circ - \alpha) = \tan(\alpha)$$ $$\qquad$$Значит: $$\qquad$$\sin(\beta) = \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{6}}{3}$$ $$\qquad$$\cos(\beta) = \sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$\qquad$$\tan(\beta) = \cot(\alpha) = \sqrt{2}$$ $$\qquad$$\cot(\beta) = \tan(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\qquad$$Ответ: $$\sin(\beta) = \frac{\sqrt{6}}{3}$$, $$\cos(\beta) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$, $$\tan(\beta) = \sqrt{2}$$, $$\cot(\beta) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$