2 sin2x - sinx 0. Решите уравнение 2cosx - √3 Адите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 3π 2;3π

Ответ: \(\frac{11\pi}{6}\)

Решаем уравнение \(\frac{2 \sin^2 x - \sin x}{2 \cos x - \sqrt{3}} = 0\)

• Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
• Решаем уравнение для числителя: \[2 \sin^2 x - \sin x = 0\] \[\sin x (2 \sin x - 1) = 0\] Отсюда: \[\sin x = 0 \quad \text{или} \quad 2 \sin x - 1 = 0\]
• Решаем уравнение \(\sin x = 0\): \[x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}\]
• Решаем уравнение \(2 \sin x - 1 = 0\): \[\sin x = \frac{1}{2}\] \[x = \frac{\pi}{6} + 2 \pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2 \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\]
• Проверяем, чтобы знаменатель не был равен нулю: \[2 \cos x - \sqrt{3}
  eq 0\] \[\cos x
  eq \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[x
  eq \pm \frac{\pi}{6} + 2 \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}\]
• Теперь нужно найти корни, принадлежащие отрезку \([\frac{3\pi}{2}; 3\pi]\).
• Для \(x = \pi n\): \[x = 2\pi \quad \text{или} \quad x = 3\pi\]
• Для \(x = \frac{\pi}{6} + 2 \pi k\): \[x = \frac{\pi}{6} + 2 \pi = \frac{13\pi}{6}\] \[x = \frac{\pi}{6} + 4 \pi = \frac{25\pi}{6} > 3\pi \quad \text{(не подходит)}\]
• Для \(x = \frac{5\pi}{6} + 2 \pi k\): \[x = \frac{5\pi}{6} + 2 \pi = \frac{17\pi}{6}\] \[x = \frac{5\pi}{6} + 4 \pi = \frac{29\pi}{6} > 3\pi \quad \text{(не подходит)}\]
• Теперь проверяем условия \(\cos x
  eq \frac{\sqrt{3}}{2}\) для полученных корней: \[\cos(2\pi) = 1
  eq \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[\cos(3\pi) = -1
  eq \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[\cos(\frac{13\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{(не подходит)}\] Таким образом, корень \(\frac{13\pi}{6}\) не подходит.
• В итоге, корнями уравнения на заданном отрезке являются \(2\pi\) и \(3\pi\).
• Решим уравнение \[2\cos x - \sqrt{3} = 0\] \[\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]
• Найдем все корни, принадлежащие отрезку \([\frac{3\pi}{2}, 3\pi]\): \[x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}
  otin [\frac{3\pi}{2}, 3\pi]\] \[x = -\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6}
  otin [\frac{3\pi}{2}, 3\pi]\] \[x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \in [\frac{3\pi}{2}, 3\pi]\]