Сколько корней имеет уравнение? Решите уравнение $$(x - 2)^4 - x^2 + 4x - 16 = 0$$

Решим уравнение $$(x - 2)^4 - x^2 + 4x - 16 = 0$$.

Заметим, что $$-x^2 + 4x - 16 = -(x^2 - 4x + 4) - 12 = -(x - 2)^2 - 12$$.

Тогда уравнение принимает вид:

$$ (x - 2)^4 - (x - 2)^2 - 12 = 0 $$

Обозначим $$t = (x - 2)^2$$. Тогда уравнение преобразуется в квадратное уравнение относительно $$t$$:

$$ t^2 - t - 12 = 0 $$

Найдем корни квадратного уравнения:

$$ D = (-1)^2 - 4 cdot 1 cdot (-12) = 1 + 48 = 49 $$ $$ t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4 $$ $$ t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2 cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $$

Возвращаемся к замене $$t = (x - 2)^2$$.

Случай 1: $$(x - 2)^2 = 4$$

$$ x - 2 = \pm \sqrt{4} = \pm 2 $$

Тогда $$x_1 = 2 + 2 = 4$$ и $$x_2 = 2 - 2 = 0$$.

Случай 2: $$(x - 2)^2 = -3$$.

Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, то в этом случае действительных корней нет.

Итак, уравнение имеет два действительных корня: 0 и 4.

Ответ: 2