755 Сколько общих касательных имеют две окружности с центра- ми О₁ и О2 и радиусами R и r, если: а) О₁О2 = 12 см, R=8 см, r=6 см; б) 0102=12 см, R=8 см, r=4 см; в) 0102=12 см, R= 6 см, r= 4 см; г) О₁О2 = 2см, R= 8 см, r = 6 см; д) О₁О2 = 3 см, R= 5 см, r= 4 см?

Определим количество общих касательных для двух окружностей в зависимости от расстояния между их центрами и их радиусов:

• Если $$d > R + r$$, то окружности не пересекаются и имеют 4 общие касательные.
• Если $$d = R + r$$, то окружности касаются внешним образом и имеют 3 общие касательные.
• Если $$|R - r| < d < R + r$$, то окружности пересекаются и имеют 2 общие касательные.
• Если $$d = |R - r|$$, то окружности касаются внутренним образом и имеют 1 общую касательную.
• Если $$d < |R - r|$$, то одна окружность находится внутри другой и не имеют общих касательных.

1. а) $$O_1O_2$$ = 12 см, R = 8 см, r = 6 см. R + r = 8 + 6 = 14 см. Так как $$d < R + r$$, то $$12 < 14$$. $$|R - r| = |8 - 6| = 2$$. Так как $$d > |R - r|$$, то $$12 > 2$$. Получается $$|R - r| < d < R + r$$, значит, окружности пересекаются и имеют 2 общие касательные.

2. б) $$O_1O_2$$ = 12 см, R = 8 см, r = 4 см. R + r = 8 + 4 = 12 см. Так как $$d = R + r$$, то $$12 = 12$$. Значит, окружности касаются внешним образом и имеют 3 общие касательные.

3. в) $$O_1O_2$$ = 12 см, R = 6 см, r = 4 см. R + r = 6 + 4 = 10 см. Так как $$d > R + r$$, то $$12 > 10$$. Значит, окружности не пересекаются и имеют 4 общие касательные.

4. г) $$O_1O_2$$ = 2 см, R = 8 см, r = 6 см. $$|R - r| = |8 - 6| = 2$$. Так как $$d = |R - r|$$, то $$2 = 2$$. Значит, окружности касаются внутренним образом и имеют 1 общую касательную.

5. д) $$O_1O_2$$ = 3 см, R = 5 см, r = 4 см. $$|R - r| = |5 - 4| = 1$$. Так как $$d > |R - r|$$, то $$3 > 1$$. $$R + r = 5 + 4 = 9$$. Так как $$d < R + r$$, то $$3 < 9$$. Получается $$|R - r| < d < R + r$$, значит окружности пересекаются и имеют 2 общие касательные.

Ответ: а) 2; б) 3; в) 4; г) 1; д) 2.