Решение задачи 3.5

1. На рисунке 11 изображено:
   • 1 развёрнутый угол: \(\angle AOE\)
   • 1 прямой угол: \(\angle COE\)
   • 3 острых угла: \(\angle AOB\), \(\angle BOC\), \(\angle DOE\)
   • 1 тупой угол: \(\angle AOD\)

   Углы, имеющие общую сторону OB, в порядке возрастания:

   • \(\angle AOB\)
   • \(\angle BOC\)
   • \(\angle AOC\)
2. Дано: \(\angle ABC\) - развёрнутый, \(BM\) делит \(\angle ABC\) в отношении 5:1, считая от луча \(BA\), \(BK\) - биссектриса \(\angle MBC\).

Найти: \(\angle ABK\)

Решение:

Пусть \(\angle ABM = 5x\), тогда \(\angle MBC = x\). Т.к. \(\angle ABC\) - развёрнутый, то \(\angle ABC = 180^{\circ}\).

Тогда: $$5x + x = 180^{\circ}$$ $$6x = 180^{\circ}$$ $$x = 30^{\circ}$$

Значит, \(\angle MBC = 30^{\circ}\).

Т.к. \(BK\) - биссектриса \(\angle MBC\), то \(\angle MBK = \angle KBC = \frac{1}{2} \angle MBC = \frac{1}{2} \cdot 30^{\circ} = 15^{\circ}\).

Тогда \(\angle ABK = \angle ABM + \angle MBK = 5x + 15^{\circ} = 5 \cdot 30^{\circ} + 15^{\circ} = 150^{\circ} + 15^{\circ} = 165^{\circ}\)

Ответ: \(\angle ABK = 165^{\circ}\)