Контрольные задания > 61. Сколько решений имеет уравнение: a) $$\frac{25}{x} = 2x - 5$$ b) $$x^3 = |x|$$?
Вопрос:

61. Сколько решений имеет уравнение: a) $$\frac{25}{x} = 2x - 5$$ b) $$x^3 = |x|$$?

Ответ:

Решим уравнение $$\frac{25}{x} = 2x - 5$$: $$\frac{25}{x} - 2x + 5 = 0$$ $$\frac{25 - 2x^2 + 5x}{x} = 0$$ $$2x^2 - 5x - 25 = 0$$ Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-25) = 25 + 200 = 225$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 15}{4} = \frac{20}{4} = 5$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 15}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$$ Уравнение имеет два решения: 5 и -2.5.
б) Решим уравнение $$x^3 = |x|$$: 1) Если $$x \geq 0$$, то $$x^3 = x$$. $$x^3 - x = 0$$ $$x(x^2 - 1) = 0$$ $$x(x - 1)(x + 1) = 0$$ Корни: x = 0, x = 1, x = -1. Так как рассматриваем $$x \geq 0$$, то подходит x = 0 и x = 1. 2) Если $$x < 0$$, то $$x^3 = -x$$. $$x^3 + x = 0$$ $$x(x^2 + 1) = 0$$ $$x = 0$$ или $$x^2 + 1 = 0$$. Второй случай не имеет решений, так как $$x^2$$ всегда неотрицательно, а значит, $$x^2 + 1 \geq 1$$. Таким образом, единственный корень в этом случае x = 0, но мы рассматриваем $$x < 0$$, значит, нет решений.
Итак, уравнение $$x^3 = |x|$$ имеет два решения: x = 0 и x = 1.
Ответ: а) 2 решения, б) 2 решения.
Смотреть решения всех заданий с листа
Подать жалобу Правообладателю

Похожие