3. Сколько существует натуральных чисел, не превосходящих 1000, которые делятся на 7? На 11? На 13? Нарисуйте диаграмму Эйлера для этих трех множеств и запишите сколько элементов содержится в каждом из подмножеств, образованных пересечениями.

Ответ: На 7 - 142, на 11 - 90, на 13 - 76.

1. Числа, делящиеся на 7:

\[\left\lfloor \frac{1000}{7} \right\rfloor = 142\]

2. Числа, делящиеся на 11:

\[\left\lfloor \frac{1000}{11} \right\rfloor = 90\]

3. Числа, делящиеся на 13:

\[\left\lfloor \frac{1000}{13} \right\rfloor = 76\]

4. Числа, делящиеся на 7 и 11 (то есть на 77):

\[\left\lfloor \frac{1000}{7 \cdot 11} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{1000}{77} \right\rfloor = 12\]

5. Числа, делящиеся на 7 и 13 (то есть на 91):

\[\left\lfloor \frac{1000}{7 \cdot 13} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{1000}{91} \right\rfloor = 10\]

6. Числа, делящиеся на 11 и 13 (то есть на 143):

\[\left\lfloor \frac{1000}{11 \cdot 13} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{1000}{143} \right\rfloor = 6\]

7. Числа, делящиеся на 7, 11 и 13 (то есть на 1001):

\[\left\lfloor \frac{1000}{7 \cdot 11 \cdot 13} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{1000}{1001} \right\rfloor = 0\]

Диаграмма Эйлера-Венна:

Ответ: На 7 - 142, на 11 - 90, на 13 - 76.