Сколько существует натуральных чисел, в 23 раза больших своего наименьшего собственного делителя? Делитель называется собственным, если он больше 1, но меньше самого числа.

Давайте разберемся с этой задачей по шагам. 1. **Определение задачи:** Нам нужно найти такие натуральные числа ( x ), которые в 23 раза больше своего наименьшего собственного делителя. Собственный делитель – это делитель числа, который больше 1, но меньше самого числа. 2. **Математическая формулировка:** Пусть ( d ) – наименьший собственный делитель числа ( x ). Тогда можно записать условие задачи как ( x = 23d ). 3. **Анализ возможных делителей:** Наименьший собственный делитель натурального числа всегда является простым числом. В противном случае, если наименьший делитель ( d ) составное число, то у него был бы еще меньший делитель, что противоречит условию. 4. **Рассмотрим возможные случаи:** * Пусть наименьший собственный делитель ( d = 2 ). Тогда ( x = 23 cdot 2 = 46 ). Делители числа 46: 1, 2, 23, 46. Наименьший собственный делитель 46 – это 2. Следовательно, ( x = 46 ) подходит. * Пусть наименьший собственный делитель ( d = 3 ). Тогда ( x = 23 cdot 3 = 69 ). Делители числа 69: 1, 3, 23, 69. Наименьший собственный делитель 69 – это 3. Следовательно, ( x = 69 ) подходит. * Пусть наименьший собственный делитель ( d = 5 ). Тогда ( x = 23 cdot 5 = 115 ). Делители числа 115: 1, 5, 23, 115. Наименьший собственный делитель 115 – это 5. Следовательно, ( x = 115 ) подходит. * Пусть наименьший собственный делитель ( d = 7 ). Тогда ( x = 23 cdot 7 = 161 ). Делители числа 161: 1, 7, 23, 161. Наименьший собственный делитель 161 – это 7. Следовательно, ( x = 161 ) подходит. 5. **Поиск других возможностей:** Заметим, что если ( d ) больше 23, то ( x = 23d ) будет иметь делитель 23, который меньше ( d ). Это противоречит условию, что ( d ) – наименьший собственный делитель. Таким образом, наименьший собственный делитель ( d ) может быть только одним из простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. * Проверим случай ( d = 11 ). Тогда ( x = 23 cdot 11 = 253 ). Делители числа 253: 1, 11, 23, 253. Наименьший собственный делитель 253 – это 11. Следовательно, ( x = 253 ) подходит. * Проверим случай ( d = 13 ). Тогда ( x = 23 cdot 13 = 299 ). Делители числа 299: 1, 13, 23, 299. Наименьший собственный делитель 299 – это 13. Следовательно, ( x = 299 ) подходит. * Проверим случай ( d = 17 ). Тогда ( x = 23 cdot 17 = 391 ). Делители числа 391: 1, 17, 23, 391. Наименьший собственный делитель 391 – это 17. Следовательно, ( x = 391 ) подходит. * Проверим случай ( d = 19 ). Тогда ( x = 23 cdot 19 = 437 ). Делители числа 437: 1, 19, 23, 437. Наименьший собственный делитель 437 – это 19. Следовательно, ( x = 437 ) подходит. * Проверим случай ( d = 23 ). Тогда ( x = 23 cdot 23 = 529 ). Делители числа 529: 1, 23, 529. Наименьший собственный делитель 529 – это 23. Следовательно, ( x = 529 ) подходит. 6. **Финальный ответ:** Всего мы нашли 9 чисел: 46, 69, 115, 161, 253, 299, 391, 437 и 529. Таким образом, существует **9** таких чисел.