8.9 Сколько целых чисел заключено между числами $$\frac{1111}{37}$$ и $$\frac{11512}{361}$$? 8.10 Между какими соседними целыми числами заключено число $$\frac{1111111}{2431}$$? 8.11 Найдите целое число, ближайшее к числу $$\frac{76543210}{1234567}$$? 8.12 Запишите все дроби со знаменателем 17, находящиеся между 1,5 и 1,7. 8.13 Покажите, что между числами $$\frac{111}{112}$$ и $$\frac{112}{113}$$ можно найти рациональное число. Верно ли, что между любыми двумя рациональными числами всегда можно найти хотя бы одно рациональное число?

Решение:

8.9

Вычислим значения дробей:

$$\frac{1111}{37} \approx 30.027$$ $$\frac{11512}{361} \approx 31.89$$

Целые числа между 30.027 и 31.89: 31

Ответ: 1

8.10

Вычислим значение дроби:

$$\frac{1111111}{2431} \approx 457.05$$

Число 457.05 заключено между соседними целыми числами 457 и 458.

Ответ: 457 и 458

8.11

Вычислим значение дроби:

$$\frac{76543210}{1234567} \approx 62.0000081$$

Число 62.0000081 ближе всего к целому числу 62.

Ответ: 62

8.12

Найдем дроби со знаменателем 17, находящиеся между 1,5 и 1,7:

$$1.5 = \frac{1.5 \cdot 17}{17} = \frac{25.5}{17}$$ $$1.7 = \frac{1.7 \cdot 17}{17} = \frac{28.9}{17}$$

Дроби со знаменателем 17 между $$\frac{25.5}{17}$$ и $$\frac{28.9}{17}$$: $$\frac{26}{17}, \frac{27}{17}, \frac{28}{17}$$

Ответ: $$\frac{26}{17}, \frac{27}{17}, \frac{28}{17}$$

8.13

Найдем рациональное число между $$\frac{111}{112}$$ и $$\frac{112}{113}$$. Можно взять среднее арифметическое этих чисел:

$$\frac{\frac{111}{112} + \frac{112}{113}}{2} = \frac{\frac{111 \cdot 113 + 112 \cdot 112}{112 \cdot 113}}{2} = \frac{12543 + 12544}{12656 \cdot 2} = \frac{25087}{25312}$$

Таким образом, $$\frac{25087}{25312}$$ - рациональное число между $$\frac{111}{112}$$ и $$\frac{112}{113}$$.

Между любыми двумя рациональными числами всегда можно найти хотя бы одно рациональное число. Например, их среднее арифметическое.

Ответ: $$\frac{25087}{25312}$$, верно