1. Сколько вариантов ответа в этой задаче? В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 25

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ – корни квадратного трехчлена $$x^2 + bx + c$$. По теореме Виета, $$x_1 + x_2 = -b$$ и $$x_1 \cdot x_2 = c$$. Тогда $$c - b = x_1 \cdot x_2 + x_1 + x_2 = 27$$. Добавим 1 к обеим частям равенства: $$x_1 \cdot x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 28$$. Теперь разложим на множители: $$(x_1 + 1)(x_2 + 1) = 28$$. Поскольку $$b$$ и $$c$$ – натуральные числа, корни $$x_1$$ и $$x_2$$ должны быть отрицательными. Разложим число 28 на множители:

1. $$28 = 1 \cdot 28$$, тогда $$x_1 + 1 = 1$$ и $$x_2 + 1 = 28$$, следовательно, $$x_1 = 0$$ и $$x_2 = 27$$. $$x_1$$ не может быть корнем, так как $$x_1$$ должно быть отрицательным.
2. $$28 = 2 \cdot 14$$, тогда $$x_1 + 1 = 2$$ и $$x_2 + 1 = 14$$, следовательно, $$x_1 = 1$$ и $$x_2 = 13$$. $$x_1$$ не может быть корнем, так как $$x_1$$ должно быть отрицательным.
3. $$28 = 4 \cdot 7$$, тогда $$x_1 + 1 = 4$$ и $$x_2 + 1 = 7$$, следовательно, $$x_1 = 3$$ и $$x_2 = 6$$. $$x_1$$ не может быть корнем, так как $$x_1$$ должно быть отрицательным.
4. $$28 = (-1) \cdot (-28)$$, тогда $$x_1 + 1 = -1$$ и $$x_2 + 1 = -28$$, следовательно, $$x_1 = -2$$ и $$x_2 = -29$$. $$b = -(x_1 + x_2) = -(-2 - 29) = 31$$, $$c = x_1 \cdot x_2 = (-2) \cdot (-29) = 58$$. Тогда $$c - b = 58 - 31 = 27$$. Наименьший корень: -29.
5. $$28 = (-2) \cdot (-14)$$, тогда $$x_1 + 1 = -2$$ и $$x_2 + 1 = -14$$, следовательно, $$x_1 = -3$$ и $$x_2 = -15$$. $$b = -(x_1 + x_2) = -(-3 - 15) = 18$$, $$c = x_1 \cdot x_2 = (-3) \cdot (-15) = 45$$. Тогда $$c - b = 45 - 18 = 27$$. Наименьший корень: -15.
6. $$28 = (-4) \cdot (-7)$$, тогда $$x_1 + 1 = -4$$ и $$x_2 + 1 = -7$$, следовательно, $$x_1 = -5$$ и $$x_2 = -8$$. $$b = -(x_1 + x_2) = -(-5 - 8) = 13$$, $$c = x_1 \cdot x_2 = (-5) \cdot (-8) = 40$$. Тогда $$c - b = 40 - 13 = 27$$. Наименьший корень: -8.
7. $$28 = (-28) \cdot (-1)$$, тогда $$x_1 + 1 = -28$$ и $$x_2 + 1 = -1$$, следовательно, $$x_1 = -29$$ и $$x_2 = -2$$. $$b = -(x_1 + x_2) = -(-29 - 2) = 31$$, $$c = x_1 \cdot x_2 = (-29) \cdot (-2) = 58$$. Тогда $$c - b = 58 - 31 = 27$$. Наименьший корень: -29.
8. $$28 = (-14) \cdot (-2)$$, тогда $$x_1 + 1 = -14$$ и $$x_2 + 1 = -2$$, следовательно, $$x_1 = -15$$ и $$x_2 = -3$$. $$b = -(x_1 + x_2) = -(-15 - 3) = 18$$, $$c = x_1 \cdot x_2 = (-15) \cdot (-3) = 45$$. Тогда $$c - b = 45 - 18 = 27$$. Наименьший корень: -15.
9. $$28 = (-7) \cdot (-4)$$, тогда $$x_1 + 1 = -7$$ и $$x_2 + 1 = -4$$, следовательно, $$x_1 = -8$$ и $$x_2 = -5$$. $$b = -(x_1 + x_2) = -(-8 - 5) = 13$$, $$c = x_1 \cdot x_2 = (-8) \cdot (-5) = 40$$. Тогда $$c - b = 40 - 13 = 27$$. Наименьший корень: -8.

Различные значения наименьшего из корней: -29, -15, -8. Следовательно, вариантов ответа 3.

Ответ: 3